leetcode 300 最長上公升子串行

給定乙個無序的整數陣列，找到其中最長上公升子串行的長度。

示例:

輸入: [10,9,2,5,3,7,101,18]

輸出: 4

解釋: 最長的上公升子串行是 [2,3,7,101]，它的長度是 4。

思路一：動態規劃

dp[i]：表示以第 i 個數字為結尾的「最長上公升子串行」的長度。即在 [0, …, i] 的範圍內，選擇以數字 nums[i] 結尾可以獲得的最長上公升子串行的長度。注意：以第 i 個數字為結尾，即要求 nums[i] 必須被選取。

初始化的時候，因為每個元素自己可以認為是乙個長度為 1 的子串行，所以可以將 dp 陣列的值全部設定為 1。

定義輸出：下面要考慮一下輸出，由於狀態不是題目中的問法，因此不能將最後乙個狀態作為輸出，這裡輸出是把 dp[0]、dp[1]、……、dp[n - 1] 全部看一遍，取最大值。

遍歷到索引是 i 的數的時候，根據上面「狀態」的定義，考慮把 i 之前的所有的數都看一遍，只要當前的數 nums[i] 嚴格大於之前的某個數，那麼 nums[i] 就可以接在這個數後面形成乙個更長的上公升子串行。因此，dp[i] 就是之前嚴格小於 nums[i] 的「狀態」最大值加 1。

因此，狀態轉移方程是：

dp[i] = max

class solution 
int dp = new int[nums.length];
arrays.fill(dp,1);
int max = 1;
for (int i = 1;i < nums.length;i++)
}max = math.max(max,dp[i]);
}return max;
}}

時間複雜度：o(n^2)，因為有兩個 for 迴圈，每個 for 迴圈的時間複雜度都是線性的。

空間複雜度：o(n)，要開和陣列等長的狀態陣列，最後要拉通看一遍狀態陣列的最大值，因此空間複雜度是 o(n)。

這樣在一些筆試中會出現超時的情況，因為還不是最優解，可以考慮在子問題遍歷過程中使用二分的思路

思路二：貪心演算法 + 二分

注意：arrays.binarysearch() 方法返回搜尋鍵的索引，如果它包含在陣列中，則返回(（插入點）-1）。

1、設定乙個有序陣列 tail，初始時為空；

陣列命名為 tail 即 ppt 中各個行表示的陣列（是乙個「上公升子串行」）的結尾，注意：有序陣列 tail 雖然有「上公升」的性質，但它不是每時每刻都表示問題中的「最長上公升子串行」（下文還會強調），不能命名為 lis，有序陣列 tail 是用於求解 lis 問題的輔助陣列。

2、在遍歷陣列 nums 的過程中，每來乙個新數 num，如果這個數嚴格大於有序陣列 tail 的最後乙個元素，就把 num 放在有序陣列 tail 的後面，否則進入第 3 點；

注意：這裡的大於是「嚴格」大於，不包括等於的情況。

3、在有序陣列 tail 中查詢第 1 個等於大於 num 的那個數，試圖讓它變小；

如果有序陣列 tail 中存在等於 num 的元素，什麼都不做，因為以 num 結尾的最短的「上公升子串行」已經存在；

如果有序陣列 tail 中存在大於 num 的元素，找到第 1 個，讓它變小，這樣我們就找到了乙個「結尾更小」的「相同長度」的上公升子串行。

這一步可以使用「二分查詢法」。

4、遍歷新的數 num ，先嘗試上述第 2 點，第 2 點行不通則執行第 3 點，直到遍歷完整個陣列 nums，最終有序陣列 tail 的長度，就是所求的「最長上公升子串行」的長度。

class solution 
int n = nums.length;
int dp = new int[nums.length];
int end = 0;
dp[0] = nums[0];
for (int i = 1;i < nums.length;i++)else else 
}dp[left] = nums[i];}}
return end + 1;
}}

時間複雜度：o(n log n)，遍歷陣列使用了 o(n)，二分查詢法使用了 o(log n)。

空間複雜度：o(n)，開闢有序陣列 tail 的空間至多和原始陣列一樣。

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