洛谷 P1681 最大正方形II 線性dp

忙完了學校的事，v神終於可以做他的「正事」：陪女朋友散步。一天，他和女朋友走著走著，不知不覺就來到了乙個千里無菸的地方。v神正要往回走，如發現了一塊牌子，牌子上有有一行小字和一張圖，小字說道：「找到圖上最大的交錯正方形之後和我聯絡，這塊地就是你的了。」在房價瘋長的年代，v神當然不願錯過這個機會，於是開始找了起來……以v神的能力當然找不出來了，你能幫v神找出來嗎？

圖上有乙個矩陣，由n*m個格仔組成，這些格仔由兩種顏色構成，黑色和白色。請找到面積最大的且內部是黑白交錯（即兩個相連的正方形顏色不能相同）的正方形。

第一行兩個整數n和m，分別表示行數和列數。接下來有n行，每行m個數，0或1分別表示這個格仔是黑色或白色。

僅有一行，表示滿足條件最大正方形的邊長

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3 3

0 1 0

1 0 0

1 1 1

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樣例解釋：

(1,1)到(2,2)這個正方形是滿足條件的，它的邊長是2

資料範圍約定：

對於30%的資料，n <= 20

對於60%的資料，n <=300

對於100%的資料，n <= 1500

其實是最大正方形的變形。

正方形那題是令dp[i][j]是以(i,j)為右下角能得到的最大正方形邊長，而這次只要加乙個維度判斷黑白格就行了。。

令dp[i][j][0/1]是以(i,j)為右下角，且該點上為0/1時能得到的最大正方形邊長，則：

1.當a[i][j]=0時

dp[i][j][0]=min(dp[i-1][j][1],dp[i][j-1][1],dp[i-1][j-1][0])+1

2.當a[i][j]=1時

dp[i][j][1]=min(dp[i-1][j][0],dp[i][j-1][0],dp[i-1][j-1][1])+1

這裡來著重講一下為什麼狀態轉移方程中為什麼要取min而不是取max。

你想啊，點(i,j)可以從(i-1,j)轉移過來，也可以從(i,j-1)轉移過來，也可以從(i-1,j-1)轉移過來。這3個點要同時兼顧，而(i,j)是決定存在性問題的，如果我取max，我這邊可能滿足條件，但就不保證其他兩邊滿足條件了。如果你不能理解，我們舉個例子就明白了：

假如有乙個a陣列a[4][4]：

1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0

0 1 0 0

則dp陣列：（這裡dp陣列用2維表示，為了舉例方便）

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

在dp[2][2]中，顯然可以從dp[1][2]，dp[2][1]，dp[1][1]這3個點轉移，看一下a陣列：

1 0

0 1

是可以轉移的，於是dp陣列

1 1

1 2

dp陣列

1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2

1 2 2 0

等等，dp[3][3]應該為3啊！

好。

1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 2

1 2 2 0

那麼我們接著看dp[4][3]，發現dp[4][2]=2，dp[3][3]=3，dp[3][2]=2，周圍有2個2，1個3，選哪個呢？

好，按照我們之前的慣性思維，如果取max的話，也就是選dp[3][3]的話，則dp陣列：

1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 2

1 2 4 0

發現它並不能構成邊長為4的正方形！所以要選邊長為2的。

最後dp陣列：

1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3

1 2 3 0

也就是說，dp[i][j]的選擇，是要兼顧dp[i-1][j]，dp[i][j-1]，dp[i-1][j-1]的最小值的。如果取最大值的話，顯然不能保證dp[i][j]是否還能正確。取最小值是為了能保證dp[i][j]也能滿足條件，隨著i和j的增大，dp[i][j]一定能保證單調遞增的。

#include #include #define inf 2e9+7
using namespace std;
int dp[1501][1501][2],a[1501][1501],n,m,s;
signed main()
} for(i=1;i<=n;i++)
if(a[i][j]==1)
}} cout
}

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P1681 最大正方形 Iand II

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