日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種方案時需要依據一定的標準選擇某一種方案。
面臨各種各樣的方案，要進行比較、判斷、評價、最後做出決策。這個過程主觀因素占有相當的比重，給用數學方法解決問題帶來不便。而層次分析法就是用來有效處理這類問題的實用方法。
一般分為三層，最上面為目標層，最下面為方案層，中間是準則層或指標層。
若上層的每個因素都支配者下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱為完全層次結構，否則稱為不完全層次結構。
設某一層有n個因素，x=。要比較該層的每乙個因素對上一層的某個因素的影響程度，確定在該層中相對於某一準則所佔的比重。
假設上一層有m個因素，該層有n個因素，那麼對於該層我們需要構建m個n*n的成對比較矩陣。用a
ijaij表示第i個因素相對於第j個因素的比較結果，比較時取1~9尺度。ai
j=1a
jiaij=1aji
a則稱為成對比較矩陣。
對於買鋼筆問題，中間層能和上一層的買鋼筆構成乙個成對比較矩陣 a=
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢12
1/41
/31/
31/2
11/7
1/51
/547
1233
51/2
1135
1/31
1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥
a=[11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311]
問題：兩兩進行比較後，怎樣才能知道，下層各因素對上層某因素的影響程度的排序結果呢？
層次單排序：確定該層各因素對上層某因素影響程度的過程
先看乙個簡單的例子：一塊石頭重量記為1，打碎分為n個小塊，各塊的重量分別記為：w1，w2,……wn。
則可以得到成對比較矩陣 a=
⎡⎣⎢⎢⎢⎢1w
2/w1
...w
n/w1
w1/w
21..
.wn/
w2..
....
....
..w1
/wnw
2/wn
...1
⎤⎦⎥⎥⎥⎥
a=[1w1/w2...w1/wnw2/w11...w2/wn............wn/w1wn/w2...1]
從該矩陣可以看出，wi
wj=w
iwk∗
wkwj
wiwj=wiwk∗wkwj
然而這個性質不是一定成立的 ，比如對於2.例子中的a，a23
=7,a
21=2,
a13=4
a23=7,a21=2,a13=4
因此我們定義，滿足這個性質的正互反矩陣為一致陣
一致陣的性質： a
ij=1
aji,
aii=
1i,j
=1,2
,….,
naij=1aji,aii=1i,j=1,2,….,n
也是一致陣
a的各行成比例，即rank(a)=1
a的最大特徵值為n，其餘n-1個特徵值均為0
a的任一列（行）都是對應於特徵根n的特徵向量。
定理：n階互反陣a的最大特徵根λ≥
nλ≥n
時，a為一致陣。
歸一化：λλ
其中n為a的對角線元素之和，也稱為a的特徵值之和。
隨機構造500個成對比較矩陣 a1，a2，…a500
則可得一致性指標 ci
1,ci
2,…,
ci500
ci1,ci2,…,ci500
時，認為a的不一致程度在容許範圍之內，可用其歸一化特徵向量作為權向量，否則要重新構造成對比較矩陣，對a加以調整。
一致性檢驗：利用一致性指標和一致性比率<0.1及隨機一致性指標的數值表，對a進行檢驗的過程。
下面圖過多，就偷懶貼ppt吧~
建立層次結構模型
構造成對比較矩陣
計算單排序權向量並做一致性檢驗
計算總排序權向量並做一致性檢驗
繼續偷懶。。看ppt吧
層次分析法（AHP）
層次分析法 簡稱ahp 的主要特點是通過建立遞階層次結構，把人類的判斷轉化到若干因素兩兩之間重要度的比較上，從而把難於量化的定性判斷轉化為可操作的重要度的比較上面。在許多情況下，決策者可以直接使用ahp進行決策，極大地提高了決策的有效性 可靠性和可行性，但其本質是一種思維方式，它把複雜問題分解成多個...
層次分析法 AHP 介紹
層次分析法 ahp 層次分析法 analytic hierarchy process,簡稱ahp 是美國匹茲堡大學數學系教授，著名運籌學家薩迪 t.l.saaty 於 70 年代中期提出來的一種將定性與定量相結合的 系統化 層次化的多屬性決策分析方法。在多屬性決策問題中，通常具有以下共同特點 屬性之...
數學建模 層次分析法AHP
層次分析法 層次分析法 analytichierarchy process 簡稱ahp 是將與決策總是有關的元素分解成目標 準則 方案等層次，在此基礎之上進行定性和定量分析的決策方法。該方法是美國運籌學家匹茨堡大學教授薩蒂於 20世紀 70年代初，在為美國國防部研究 根據各個工業部門對國家福利的貢獻...