本節主要介紹線性代數的基礎。首先從解方程開始，學習線性代數的應用之一就是求解複雜的方程問題，本節核心之一就是從row picture (行影象)和column picture (列影象)的角度解方程。
我們首先通過乙個例子了解二維方程組:
\left \ 2x-y&=0\\ -x+2y&=3 \end \right.
\begin 2&-1 \\ -1&2 \end & \begin x&y \end & {}={} & \begin 0&3 \end\\ \text& \text && \text \end
[2−1−
12]
矩陣係數[
xy
]未知向量=
[0
3]向量
係數矩陣(a): 將方程組係數按行提取出來，構造完成的乙個矩陣。我們將對應的行影象畫出來,在係數矩陣上一次取一行構成方程。和我們在初等數學中學習的作圖求解方程的過程無異。未知向量(x): 將方程組的未知數提取出來，按列構成乙個向量。
向量(b): 將等號右側結果按列提取，構成乙個向量。
從l列影象的角度，我們再次求解上面的方程：
\left \ 2x-y&=0\\ -x+2y&=3 \end \right.
2\\ -1\end+y\begin-1\\ 2\end=\begin0\\ 3\end
x[2−1
]+y[
−12
]=[0
3]我們使用列向量構成係數矩陣，將問題轉化為: 將向量[2−
1]\begin2\\-1\end
[2−1]
與向量[−1
2]\begin-1\\ 2\end
[−12]
任意組合，使其結果構成[03
]\begin0\\ 3\end
[03]。
同樣,我們畫出列影象:
很明顯能夠看出來,x=1,y=2能夠滿足條件,使的向量組合成[03
]\begin0\\ 3\end
[03
]。如果對x和y取任意數,能夠得到任意方向的向量,鋪滿整個平面。
我們將方程組的維數進行推廣，從三維開始 2x-y&=0\\ -x+2y-z&=-1\\ -3y+4z&=4 \end\right.
⎩⎪⎨⎪⎧
2x−y
−x+2
y−z−
3y+4
z=0
=−1=
4如果我們繼續使用行影象來解決求解方程組，那麼會得到乙個很複雜的影象。
矩陣ax=b如下：
從矩陣可以看出,行影象是三個平面相交於一點,我們如果直接想看出這個點的性質可謂是難上加難。
比較靠譜的思路是先聯立其中兩個平面，使其相交於一條直線，再研究這條直線與平面相交於哪個點，最後得到點座標即為方程的解。
這個求解過程對於三維來說或許還算合理，那四維呢？五維甚至更高維數呢？直觀上很難直接繪製更高維數的影象，這種行影象受到的限制也越來越多。
同樣使用上面的例子,從列影象的思路進行計算。
x [2
−10]
+y[−
123]
+z[0
−14]
=[0−
14]x\begin2\\-1\\0\end+y\begin-1\\2\\3\end+z\begin0\\-1\\4\end=\begin0\\ -1\\4\end
x⎣⎡2−
10⎦
⎤+y
⎣⎡−
123
⎦⎤+
z⎣⎡
0−14
⎦⎤
=⎣⎡
0−14
⎦⎤
左側是線性組合，右側是合適的線性組合組成的結果，這樣一來思路就清晰多了，「尋找線性組合」成為了解題關鍵。
很明顯這道題是乙個特例，我們只需要取 x = 0, y = 0, z = 1 就得到了結果，這在行影象之中並不明顯。
當然，之所以我們更推薦使用列影象求解方程， 是因為這是一種更系統的求解方法，即尋找線性組合，而不用繪製每個行方程的影象之後尋找那個很難看出來的點。
另外乙個優勢在於，如果我們改變最後的結果 b，例如本題中，我們將其改為
x [2
−10]
+y[−
123]
+z[0
−14]
=[11
−3]x\begin2\\-1\\0\end+y\begin-1\\2\\3\end+z\begin0\\-1\\4\end=\begin1\\ 1\\-3\end
x⎣⎡2−
10⎦
⎤+y
⎣⎡−
123
⎦⎤+
z⎣⎡
0−14
⎦⎤
=⎣⎡
11−3
⎦⎤
那麼，y，z重新取值，尋找乙個新的線性組合就可以了。但是如果我們使用的是行影象呢？那意味著我 們要完全重畫三個平面影象，就簡便性來講，兩種方法高下立判。
另外，還要注意的一點是對任意的 b 是不是都能求解 ax = b 這個矩陣方程呢？ 也就是對 3*3 的係數矩陣 a，其列的線性組合是不是都可以覆蓋整個三維空間呢？
對於我們舉的這個例子來說，一定可以，還有我們上面 2*2 的那個例子，也可以覆蓋整個平面，但是有一些矩陣就是不行的。
比如[ 11
1][0
12][
123]
\begin1\\1\\1\end\begin0\\1\\2\end\begin1\\2\\3\end
⎣⎡111
⎦⎤
⎣⎡0
12⎦
⎤⎣⎡
123
⎦⎤
三個列向量本身就構成了乙個平面，那麼這樣的三個向量組合成的向量只能活動在這個平面上，肯定無法覆蓋整個三維空間，也就無法實現對任意的b，都能求解ax=b這個方程
如何對矩陣a和向量x的積進行求解。例如a=[25
13]\begin2&5\\1&3\end
[2153
]，x=[12
]\begin1\\2\end
[12
]這部分內容主要是線性代數概念的初步了解，從解方程談起，從行空間逐步過渡到列空間，可以發現從列空間角度將求解方程變化為求列向量的線性組合，這種方法更加科學。末尾稍微介紹了一下矩陣乘法，這部分的內容理解就好。
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