先看看乙個簡單的方程組
2x-2y=0\\-x+2y=3\\\end
2 & -2 \\ -1 & 2 \end
[2−1−
22]
[ xy
]\beginx \\ y \end
[xy
] =[03
]\begin0 \\ 3 \end
[03]
這是我們常見的一種寫法，其表達是一致的，也就是上面的方程組。但是在這樣的寫法之下，其幾何解釋就有了新的定義：
先看（1）式，我們豎著看也就是看它的列，第一列是[2−
1]
\begin2 \\ -1 \end
[2−1]
，第二列是[−2
2]
\begin-2 \\ 2 \end
[−22]
，他們經由與[xy
]\beginx \\ y \end
[xy
]的運算後得到了[03
]\begin0\\ 3 \end
[03
]，在細看第一列與x在方程中的關係，不難發現就是x的係數，同樣第二列就是y的係數。
那麼這種運算的定義似乎可以這麼寫：
[ 2−
1]
\begin2 \\ -1 \end
[2−1]
*x+[−2
2]
\begin-2 \\ 2 \end
[−22]
*y=[03
]\begin0\\ 3 \end
[03]
這就有點像是向量的表示了，向量[2−
1]
\begin2 \\ -1 \end
[2−1]
"伸縮"了x倍之後，加上了"伸縮"了y倍的向量[−2
2]
\begin-2 \\ 2 \end
[−22]
，合成了向量[03
]\begin0\\ 3 \end
[03
]。即向量[2−
1]
\begin2 \\ -1 \end
[2−1]
與向量[−2
2]
\begin-2 \\ 2 \end
[−22]
以[ xy
]\beginx \\ y \end
[xy
]的組合方式合成了向量[03
]\begin0\\ 3 \end
[03
]。方程組便成了向量的線性組合了。
當然行與列我們也可以互換，於是就有了：
[ xy
]\beginx & y \end
[xy]
[ 2−
1−22
]\begin2 & -1 \\ -2 & 2 \end
[2−2−
12]
=[ 03
]\begin0 & 3 \end
[03]
我們將乘數的行與列都對調了一下，於是便成了上面的樣子。變化一下就有這樣的線性組合：
x*[ 2−
1]
\begin2 & -1 \end
[2−1
]+y*[−2
2]
\begin-2 & 2 \end
[−22
]=[03]
\begin0& 3 \end
[03]
這樣的則是行的線性組合。行的線性組合在左邊，列的線性組合在右遍。（左行右列）
之前我們在解釋方程組的時候其實是在"一行一行"的去看，所以在二元時（x，y）是一些直線的交點，三元時（x，y，z）是平面的交點（也可能交的是平面），而從列的方向來看就很直觀了，就是相同維度的多個列向量的線性組合。
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