考慮n個方程 n個未知數，從簡單的2個方程 2個未知數開始考慮。
這個方程的目的是考慮如何將（2，-1）和（-1，2）這兩個向量正確組合，從而構成（0，3）這個向量；
這就需要找到乙個正確的線性組合（圖中等號左側部分就叫做列向量的線性組合linear combination of columns）
線性組合是貫穿該課程始終的基本方法。
上圖是其代數形式，其幾何形式如下：
對列影象考慮正確的組合，而正確的組合是為了得到（0，3）
根據行影象得出的x=1，y=2，考慮將其在列影象上繪製體現出來，也就是一倍的col 1，兩倍的col 2，最後得到b向量。
考慮所有的線性組合的情況，即x和y的情況。
此時得到的結果將會是得到任意的等號右側向量，左側這兩個向量的組合會布滿整個座標平面，以後碰到再深入研究。
這裡的係數矩陣（矩陣a）就是左側的係數組合起的矩陣；向量b就是（0，-1，4）；
row picture（行影象）
3 x 3的情況下，乙個方程是乙個平面，而這三條方程不平行也不特殊，所以兩個方程相交於一條直線，三條方程必然交於一點，但是3 x 3 的行影象很難像2 x 2的行影象那樣繪製出來。
如果變成四維空間，甚至n維空間，問題會變得更複雜。
column picture（列影象）
左側是三個向量的線性組合，每個向量均為三維向量 ，這個方程的目的是考慮如何將這三個向量正確組合，從而得到右側向量；
很容易得到，x=0，y=0，z=1是這個線性方程組的解，（0，0，1）就是行影象中難以看出的、三平面的交點。
當然列影象方法並不能總是找到解，下一講將講到消元法（求解的系統方法，即求所有情況下的x，y，z的方法）。
所有人，以及不管怎麼複雜的軟體都可以通過消元法求解方程組。
繼續回到本講的「大圖」（保持左側不變，改變右側向量）上，改變右側向量為（1，1，-3）：
（1，1，-3）仍然是特殊的向量（簡單將列1和列2相加），故可以得到解為x=1，y=1，z=0.
對於行影象來說，需要重新繪製平面尋找交點；而對於列影象來說，三列向量沒有發生變化，只是需要重新組合。
現在考慮所有的右側向量b。這等價於代數問題：對任意b，是否能求解ax=b？。等價於用「線性組合」的方式問：列的線性組合是否能覆蓋整個三維空間？
對於這個例子2（非奇異矩陣，可逆矩陣）來說，答案是yes。
但是對於另一些其他矩陣，答案可能是no。（如這三個列向量處於同一平面時，那麼其組合必然也處於該平面上，此時這三個列向量的線性組合不能覆蓋整個三維空間——這種情形被稱作奇異，矩陣不可逆）
想象九維空間中9個向量的組合，是線性代數中必須掌握的中心內容，雖然難以具象化，但是可以想象。九維空間中九個向量的組合，將能夠覆蓋整個九維空間，此時取得所有右側向量b的答案就是yes。
但如果第九列碰巧等於第八列，那麼此時的線性組合就不能覆蓋整個九維空間，此時想要取得所有右側向量b的答案就是no。
對於非奇異矩陣的情況，只要正確組合，就可以得到任何的向量b。
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