高斯消元
對於兩個矩陣a,b
a,ba,
b，如果a×b
=e
a\times b=e
a×b=
e（其中e
ee）為單位矩陣，那麼我們稱b
bb是a
aa的逆矩陣，a
aa為可逆矩陣。
前置：單位矩陣(eee)
單位矩陣的定義：
乙個從左上角到右下角的對角線（主對角線）的元素全部為1單位矩陣的性質：a×e11，其餘元素全部為0
00的矩陣。
=e×a
=a
a\times e=e\times a=a
a×e=e×
a=a（常用於矩陣快速冪）
前置：矩陣的初等變換
定義矩陣的初等變換：
1. 交換
矩陣中兩
行/
列1.交換矩陣中兩行/列
1.交換矩陣
中兩行/
列 2. 將矩
陣的一行
/列同時
乘乙個非
零數
k2.將矩陣的一行/列同時乘乙個非零數k
2.將矩陣的
一行/列
同時乘一
個非零數
k 3. 將矩
陣的一行
/列乘非
零數k後
加到另一
行/列（
注意是加
到）
3.將矩陣的一行/列乘非零數k後加到另一行/列（注意是加到）
3.將矩陣的
一行/列
乘非零數
k後加到
另一行/
列（注意
是加到）
容易看出，矩陣的初等變換是可逆的，並且其逆運算是同一種型別的初等變換。
前置：初等矩陣
初等矩陣的定義：
初等矩陣是指由單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣。初等矩陣的模樣可以寫乙個3階或者4階的單位矩陣。初等矩陣的性質：設a
aa是乙個m×n
m\times n
m×n的矩陣，那麼對a
aa施行一次初等行變換，就等價於在a
aa的左邊乘上乙個相應的m
mm階(即m×m
m\times m
m×m)的初等矩陣m
mm（即m×a
m\times a
m×a）。對a
aa施行一次初等列變換，其結果等價於在a
aa的右邊乘以相應的n
nn階初等矩陣n
nn（即a×n
a\times n
a×n）。反之亦然。
對於相應矩陣的解釋：如果單位矩陣e
ee做出一種初等變換得到的矩陣為e′e'
e′，矩陣b
bb做出同樣的變換得到的矩陣為b′b'
b′，那麼b′=
e′×b
b'=e'\times b
b′=e′×
b。初等矩陣一定存在逆矩陣。
矩陣求逆
首先，由矩陣的初等變換可逆得：
如果a
aa存在逆矩陣，那麼a
aa可以通過一些初等變換，化為單位矩陣e
ee，即：
p 1×
p2×.
..×p
n×a=
ep_1\times p_2\times ...\times p_n \times a=e
p1×p2
×..
.×pn
×a=
e證明需要用到行列式的相關知識，此處不予提及。
我們在等式兩邊同時乘上a
aa的逆矩陣a−1
a^a−
1，那麼我們有：
p 1×
p2×.
..×p
n=a−
1p_1\times p_2\times ...\times p_n=a^
p1×p2
×..
.×pn
=a−
1所以我們可以構造乙個單位矩陣，在使用高斯消元將a
aa轉化成單位矩陣是我們同時對該單位矩陣進行同樣的操作，最後輸出單位矩陣即可。
例題：傳送門
解析：用剛才的方法操作就好，分數取模時要求出逆元。
code
#include
#define int long long
#define mod 1000000007
using
namespace std;
int f[
405]
[805];
intksm
(int a,
int b)
return res;
}signed
main()
f[i]
[i+n]=1
;}for(
int i=
1;i<=n;i++
)break;}
}if(!f[i]
[i])
int r=
ksm(f[i]
[i],mod-2)
;for
(int j=i;j<=n*
2;j++
)for
(int j=
1;j<=n;j++)}
}}for(
int i=
1;i<=n;i++
)printf
("\n");
}}
高斯消元法求逆矩陣
僅供自己學習記錄。沒有處理主對角線有0得情況與沒有逆矩陣的情況，但也基本夠用了。const int row 4 int res row row void gauss float mat row row else 2.化為行階梯形式 特殊處理第一行 for int i 1 i row i 對角線元素歸...
高斯消元法求矩陣的逆
逆矩陣 設a是數域上的乙個n階方陣，若在相同數域上存在另乙個n階矩陣b，使得 ab ba e。則我們稱b是a的逆矩陣，而a則被稱為可逆矩陣。矩陣求逆一般有兩種方法，乙個是伴隨矩陣法，乙個是初等變換法，也就是高斯消元法。這裡主要講高斯消元法的程式設計方法。由條件ab ba以及矩陣乘法的定義可知，矩陣a...
高斯消元入門 矩陣求逆 P4783
題目大意 給n n n times n n n的方陣g gg，求它的逆.題目思路 在n n n times n n n的方陣g gg後接乙個單位矩陣e ee.形成n n n n times n n n n n 的新矩陣。跑高斯 約旦消元使得g gg變成e ee.那麼原單位矩陣e ee即變為g 1 g...