function [gc,ak,xk]=guasschebyshev(fun,n)
% 高斯-勒讓德數值積分
%% 引數說明
% fun：積分表示式，可以是函式控制代碼、inline函式、匿名函式、字串表示式，但是必須可以接受向量輸入
% a,b：積分上下限只能[-1 1]，故忽略
% n：積分階數，可以任意正整數，但是不建議設定過大，大不一定能得到更好的精度
% gc：積分結果
% ak：求積係數
% xk：求積節點，滿足gc=sum(ak.*fun(xk))
%% 舉例說明
% fun=@(x)exp(x).*cos(x); % 必須可以接受向量輸入
% quadl(fun,-1,1) % 呼叫matlab內部積分函式檢驗
% [gc,ak,xk]=guasschebyshev(fun,7)
%% 高斯積分說明
% 1.高斯積分是精度最高的插值型數值積分，具有2n+1階精度，並且高斯積分總是穩定。一般插值型數值積分精度為至少n階，且具有高階不穩定性
% 2.高斯求積節點就是對應n階正交多項式的根，構建首項係數為1的正交多項式
% 3.高斯求積係數，可以由lagrange多項式插值係數進行積分得到
% 4.由高斯求積節點為根構成的多項式，與任何不超過n階的多項式正交
%% 勒讓德正交多項式說明
% 1.區間[-1,1]上關於權rho(x)=1/sqrt(1-x^2)的正交多項式系，滿足
% |- pi/2 (i=j≠0)
% ∫(ti(x)*tj(x)/sqrt(1-x^2),-1,1)= | pi (i=j=0)
% |- 0 (i≠j)
% 2.切比雪夫正交多項式的通式為：t0=1, tn=cos(n*arcos(x)) (n=1,2,...)
% 3.tn(x)=0在[-1,1]有n個零點xk=cos((2k-1)/(2n)*pi) (k=1,2,...n)，
% 有n+1個最值點pk=cos(k*pi/n) (k=0,2,...,n)
% 3.關於高斯-切比雪夫的數值積分的求積係數ak=pi/(n+1)，求積節點xk=cos((2k+1)/(2n+2)*pi) (k=0,2,...,n)
%% 計算求積係數
k=0:n;
ak=ones(1,n+1)*pi/(n+1);
% 計算求積節點
xk=cos((2*k+1)/(2*n+2)*pi);
% 計算權函式
rho=@(x)sqrt(1-x.^2);
% 積分函式有效性檢驗
fun=fcnchk(fun,'vectorize');
% 帶權的積分函式值
fx=fun(xk).*rho(xk);
% 計算積分值
gc=sum(ak.*fx);
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