字串的最長公共子串行問題

///*問題：給出兩個字串，找出它們的最長公共子串行

什麼是最長公共子串行？

最長公共子串行，英文縮寫為lcs（longest common subsequence）。

其定義是，乙個序列 s ，如果分別是兩個或多個已知序列的子串行，

且是所有符合此條件序列中最長的，則 s 稱為已知序列的最長公共子串行。

而最長公共子串(要求連續)和最長公共子串行是不同的（可以是不連續的）

例如：abgfjlmnp

- - - -

afkqln

-- --

它們的最長公共子串行是：afln

思路：利用動態規劃方法

設兩個子串行x=,y=

設c[i,j]用來儲存xi和yj的lcs長度（i=0,1... j=0,1,...）

可以得到遞推方程：

___| 0 i=0 or j=0

c[i,j]=|_ c[i-1,j-1]+1 i,j>0 and xi=yi

|__ max i,j>0 and xi!=yi

根據公式可以得知c[i,j]儲存當前(xi,yi)的最大子串行長度

知道了最長公共子串行的長度，下一步就是考慮如何輸出這個序列

為了輸出子串行我們需要增加乙個陣列pos[i,j]

pos[i,j]用來儲存c[i,j]的解是由哪乙個子問題的解得到的

有三種情況：

1: c[i,j]:=c[i-1,j-1]+1;

pos[i,j]:="↖";

2: c[i,j]:=c[i-1,j];

pos[i,j]:="↑";

3: c[i,j]:=c[i,j-1];

pos[i,j]:="←"

構造子串行時：

從pos[m,n]開始向前掃瞄：

1.當pos[i,j]中遇到"↖"時（意味著xi=yi是lcs的乙個元素），

表示xi與yj的最長公共子串行是由xi-1與yj-1的最長公共子串行在尾部加上xi得到的子串行；

2.當pos[i,j]中遇到"↑"時，表示xi與yj的最長公共子串行和xi-1與yj的最長公共子串行相同；

3.當pos[i,j]中遇到"←"時，表示xi與yj的最長公共子串行和xi與yj-1的最長公共子串行相同。

字串的最長公共子串行問題

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