字串的最長公共子串行

審題

最長公共子串行（longest common subsequence，簡稱 lcs）是一道非常經典的面試題目，因為它的解法是典型的二維動態規劃，大部分比較困難的字串問題都和這個問題乙個套路，比如說編輯距離。而且，這個演算法稍加改造就可以用於解決其他問題，所以說lcs演算法是值得掌握的。

所謂子串行，就是要保留原始順序，但可以是不連續的。審題之後你可能會有疑問，這個問題為啥就是動態規劃來解決呢？因為子串行型別的問題，窮舉出所有可能的結果都不容易，而動態規劃演算法做的就是窮舉 + 剪枝，它倆天生一對兒。所以可以說只要涉及子串行問題，十有**都需要動態規劃來解決。

動態規劃思路

第一步，一定要明確 dp 陣列的含義。

對於兩個字串的動態規劃問題，套路是通用的。

比如說對於字串 s1 和 s2，它們的長度分別是 m、n，一般來說都要構造乙個這樣的 dp table：int dp = new int[m+1][n+1]。

這裡為什麼要加1，原因是你可以不加1，但是不加1你就會用其它限制條件來確保這個index是有效的，而當你加1之後你就不需要去判斷只是讓索引為0的行和列表示空串。

第二步，定義 base case

我們專門讓索引為0的行和列表示空串，dp[0][…] 和 dp[…][0] 都應該初始化為0，這就是base case。

第三部，找狀態轉移方程

這是動態規劃最難的一步，我們來通過案例推導出來。

對於 text1：abcde 和 text2：ace 兩個字串，我們定義兩個指標進行遍歷 i 和 j。

遍歷 text1 長度為 m，定義指標 i，從 0～m。固定 i 指標（i == 1）位置，接下來開始遍歷 text2 長度為 n，定義指標 j，從 0~n。

第一次遍歷 i = 1, j = 1，兩個a相同所以 dp[1][1] = 1

第二次遍歷 i = 1, j = 2，a與c不等，也不能是0，這裡需轉換成 a 與 ac 最長子序列，這裡需要把之前的關係傳遞過來，所以dp[1][2] = 1

第三次遍歷 i = 1, j = 3，a與e不相同，把之前的關係傳遞過來，所以dp[1][3] = 1

text2：ace 已經走完來第一輪，接下來text1：abcde 走到來b字元。

第四次遍歷 i = 2, j = 1，就是需要比較ab與a的最長子串，把之前的關係傳遞過來，所以dp[2][1] = 1

依次類推…（詳看上圖）

我們會發現遍歷兩個串字元，當不同時需要考慮兩層遍歷前面的值（關係傳遞），也就是左邊和上邊的其中較大的值，當想相同時，需要考慮各自不包含當前字串的子串行長度，再加上1。

因此可以得出：

現在對比的這兩個字元不相同的，那麼我們要取它的「要麼是text1往前退一格，要麼是text2往前退一格，兩個的最大值」

dp[i + 1][j + 1] = math.max(dp[i+1][j], dp[i][j+1]);

對比的兩個字元相同，去找它們前面各退一格的值加1即可：dp[i+1][j+1] = dp[i][j] + 1;

參考**

class
solution
else}}
return dp[m]
[n];
}}