迪傑斯特拉演算法介紹

迪傑斯特拉(dijkstra)演算法是典型最短路徑演算法，用於計算乙個節點到其他節點的最短路徑。

它的主要特點是以起始點為中心向外層層擴充套件(廣度優先搜尋思想)，直到擴充套件到終點為止。

基本思想

通過dijkstra計算圖g中的最短路徑時，需要指定起點s(即從頂點s開始計算)。

此外，引進兩個集合s和u。s的作用是記錄已求出最短路徑的頂點(以及相應的最短路徑長度)，而u則是記錄還未求出最短路徑的頂點(以及該頂點到起點s的距離)。

初始時，s中只有起點s；u中是除s之外的頂點，並且u中頂點的路徑是"起點s到該頂點的路徑"。然後，從u中找出路徑最短的頂點，並將其加入到s中；接著，更新u中的頂點和頂點對應的路徑。然後，再從u中找出路徑最短的頂點，並將其加入到s中；接著，更新u中的頂點和頂點對應的路徑。 ... 重複該操作，直到遍歷完所有頂點。

操作步驟

(1)初始時，s只包含起點s；u包含除s外的其他頂點，且u中頂點的距離為"起點s到該頂點的距離"[例如，u中頂點v的距離為(s,v)的長度，然後s和v不相鄰，則v的距離為∞]。

(2)從u中選出"距離最短的頂點k"，並將頂點k加入到s中；同時，從u中移除頂點k。

(3)更新u中各個頂點到起點s的距離。之所以更新u中頂點的距離，是由於上一步中確定了k是求出最短路徑的頂點，從而可以利用k來更新其它頂點的距離；例如，(s,v)的距離可能大於(s,k)+(k,v)的距離。

(4)重複步驟(2)和(3)，直到遍歷完所有頂點。

單純的看上面的理論可能比較難以理解，下面通過例項來對該演算法進行說明。

以上圖g4為例，來對迪傑斯特拉進行演算法演示(以第4個頂點d為起點)。

初始狀態：s是已計算出最短路徑的頂點集合，u是未計算除最短路徑的頂點的集合！

第1步：將頂點d加入到s中。

此時，s=, u=。注:c(3)表示c到起點d的距離是3。

第2步：將頂點c加入到s中。

上一步操作之後，u中頂點c到起點d的距離最短；因此，將c加入到s中，同時更新u中頂點的距離。以頂點f為例，之前f到d的距離為∞；但是將c加入到s之後，f到d的距離為9=(f,c)+(c,d)。

此時，s=, u=。

第3步：將頂點e加入到s中。

上一步操作之後，u中頂點e到起點d的距離最短；因此，將e加入到s中，同時更新u中頂點的距離。還是以頂點f為例，之前f到d的距離為9；但是將e加入到s之後，f到d的距離為6=(f,e)+(e,d)。

此時，s=, u=。

第4步：將頂點f加入到s中。

此時，s=, u=。

第5步：將頂點g加入到s中。

此時，s=, u=。

第6步：將頂點b加入到s中。

此時，s=, u=。

第7步：將頂點a加入到s中。

此時，s=。

此時，起點d到各個頂點的最短距離就計算出來了：a(22) b(13) c(3) d(0) e(4) f(6) g(12)。

以"鄰接矩陣"為例對迪傑斯特拉演算法進行說明，對於"鄰接表"實現的圖在後面會給出相應的原始碼。

1. 基本定義

鄰接矩陣

typedef struct

_graph

graph, *pgraph;

//邊的結構體

typedef struct

_edgedata

edata;

graph是鄰接矩陣對應的結構體。

vexs用於儲存頂點，vexnum是頂點數，edgnum是邊數；matrix則是用於儲存矩陣資訊的二維陣列。例如，matrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即vexs[i])"和"頂點j(即vexs[j])"是鄰接點；matrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。

edata是鄰接矩陣邊對應的結構體。

2. 迪傑斯特拉演算法

#include#include
#include
#include
#define max 100
#define inf (~(0x1<<31))typedef 
struct
graph
graph,*pgraph;
typedef 
struct
edgedata
edata;
static
int get_position(graph g,char
ch)graph*create_graph()
; 
int matrix[7]=,,,
,,,};
int vlen=sizeof(vexs)/sizeof(vexs[0
]); 
inti,j;
graph *pg;
if((pg=(graph*)malloc(sizeof(graph)))==null)
return
null;
memset(pg,
0,sizeof
(pg));
pg->vexnum=vlen;
for(i=0; ivexnum; i++)
pg->vexs[i]=vexs[i];
for(i=0; ivexnum; i++)
for(j=0; jvexnum; j++)
pg->matrix[i][j]=matrix[i][j];
for(i=0; ivexnum; i++)
}pg->edgnum/=2
; 
return
pg;}
void
print_graph(graph g)
}edata*get_edges(graph g)}}
return
edges;
}void dijkstra(graph g,int vs,int prev,int
dist)
flag[vs]=1
; dist[vs]=0
; 
for(i=1;i)
}flag[k]=1
; 
for(j=0;j)}}
printf(
"dijktra(%c):\n
",g.vexs[vs]);
for(i=0;i)
printf(
"shortest (%c,%c)=%d\n
",g.vexs[vs],g.vexs[i],dist[i]);
}int
main()

執行結果：

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