動態規劃實現最短路徑問題

一、設計最短路徑的動態規劃演算法

《演算法導論》中一般將設計動態規劃演算法歸納為下面幾個步驟：

1）分析最優解的結構

2）遞迴定義最優解的值

3）自底向上計算最優解的值

4）從計算的最優解的值上面構建出最優解

二、最短路徑的結構

從最優解的結構開始分析(我們假設沒有權值為負的路徑),對於圖g的所有結點對最短路徑的問題，我們能知道一條最短路徑的子路徑都是最短路徑。假設用鄰接矩陣w=w(ij)來表示輸入帶權圖,考慮從結點i到結點j的一條最短路徑p，如果p最多有m(m為有限值)條邊。若i=j，則p的權值為0而且不包含其他邊。若i ≠ j，可以將i到j的路徑轉換為i -> k、k->j。

三、乙個給定的圖

1）給定乙個有向圖

2）我們可以給出這個有向圖的鄰接矩陣

四、c++實現

1 #include 2 #include3 #include4 #include5 #include

6using
namespace
std;
7const
int max_num = 100;8
9 typedef struct
point point;
1718 vectorpoints;
19 vectorres;
20 vectornum;
2122
void
file_read();
23void
createpoint();
24void
optimalbst();
25void
printroot(point p);
26void printoptimalbst(int i, int j, int r, point p, ofstream &filewrite);
27 template 
28 type stringtonum(const
string&str) 
3536
void
file_read() 
44else
49 str1 = "";50
}51}52
res.push_back(str1);
53fileread.close();54}
55}5657
void
createpoint() 
67 p.n =n;
68for(int k = 0; k<=n; k++) p.p[k] = stringtonum(temp_str[k]);
69for(int k = n + 1; k1)] = stringtonum(temp_str[k]);
70points.push_back(p);71}
72}7374
//根據書上的偽**：接收概率列表p1....pn和q0.....qn以及規模n作為輸入 計算出e和root 
75void
optimalbst()
85 p.n =n;
8687
for(int k = 0; k<=n; k++) p.p[k] = stringtonum(temp_str[k]);
88for(int k = n + 1; k1)] = stringtonum(temp_str[k]);
8990
//初始化只包括虛擬鍵的子樹
91for (int i = 1;i <= p.n + 1;++i)
95//
由下到上，由左到右逐步計算
96for (int len = 1;len <= p.n;++len)
110}
111}
112}
113points.push_back(p);
114}
115}
116117
void printoptimalbst(int i, int j, int r, point p, ofstream &filewrite)
126127
if (j < i - 1
)else
if (j == i - 1)
136else
142 printoptimalbst(i, root_node - 1
, root_node, p, filewrite);
143 printoptimalbst(root_node + 1
, j, root_node, p, filewrite);
144}
145146
//輸出最優二叉查詢樹所有子樹的根
147void
printroot(point p)
153 cout <
154}
155 cout <
156}
157158
intmain()
168filewrite.clear();
169return0;
170 }

然後根據輸入的鄰接矩陣求出最短路徑

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