1. 冪級數
(1) 定義: $\dps^\infty c_n(\zeta-a)^n}$ $\to$ $\dps^\infty c_nz^n\ (z=\zeta-a)}$.
(2) abel 定理: $$\bex \ba \dps^\infty c_nz^n\mboxz_1(\neq 0)\mbox}&\ra \dps^\infty c_nz^n\mbox|z|<|z_1|\mbox;}\\ \dps^\infty c_nz^n\mboxz_2(\neq 0)\mbox}&\ra\dps^\infty c_nz^n\mbox|z|>|z_2|\mbox.} \ea \eex$$ 證明: $$\bex c_nz^n=c_nz_1^n\cdot\***}^n. \eex$$
(3) 收斂半徑: $$\bex r=\sup\sed^\infty c_nz^n\mboxz\mbox}. \eex$$ 如此, $\dps^\infty c_nz^n}$ 在 $|z|r$ 內發散.
a. $r$ 的求法 $$\bex r=\vlm\sev}},\quad r=\cfrac\sqrt[n]}}. \eex$$
b. 例: 求 $\dps^\infty \cfrac,\ \sum_^\infty \cos(in)(z-1)^n, \sum_^\infty n!z^n}$ 的收斂半徑.
c. 例: 判斷級數 $\dps^\infty (5+12i)^n}$ 的斂散性.
2. 和函式
(1) 性質
a. $\dps^\infty c_nz^n}$ 在 $|z|
b. $f(z)$ 可逐項求導, 並由此得到 $\dps(0) },\ p=0,1,2,\cdots}$.
(2) 計算
a. 例: 求 $\dps^\infty n^2z^n}$, $\dps^\infty n^3z^n}$, $\dps^\infty \cfrac}$, $\dps^\infty \cfrac}$ 的收斂半徑及和函式.
解: 逐項求導或逐項求積. 注意到 $$\bex n^2=n(n-1)+n,\quad n^3=n(n-1)(n-2)+3n(n-1)+n,\mbox. \eex$$ 最後乙個算不出來 (或者不能用初等函式表示之). 但這說明了乙個問題:冪級數雖然可以在收斂圓周上處處收斂, 但和函式卻一定在收斂圓周上有乙個奇點!
作業: p 174 t 1 (3) , t 2 (2) .
復變函式 第02堂課 1 1 複數 續
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復變函式 第08堂課 2 3 初等多值函式
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復變函式2
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