掌握樹狀陣列 徹底入門

先貼一下樹狀陣列的模板**：

int

lowbit
(int i)
void
update
(int i,
int val)
//單點更新
}int
sum(
int i)
//求區間[1,i]內所有元素的和
return ret;
}

現在變形一下：

現在定義每一列的頂端節點c陣列（其實c陣列就是樹狀陣列），如圖：

c[i]代表子樹的葉子節點的權值之和，如圖可以知道：

c[1]=a[1];

c[2]=a[1]+a[2];

c[3]=a[3];

c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];

c[5]=a[5];

c[6]=a[5]+a[6];

c[7]=a[7];

c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];

將c陣列的下標i轉化成二進位制：

1=(001) c[1]=a[1];

2=(010) c[2]=a[1]+a[2];

3=(011) c[3]=a[3];

4=(100) c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];

5=(101) c[5]=a[5];

6=(110) c[6]=a[5]+a[6];

7=(111) c[7]=a[7];

8=(1000) c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];

對照式子可以發現：c[i]=a[i-2^ k+1]+a[i-2^k+2]+…+a[i];（k為i的二進位制中從最低位到最高位連續零的個數）

例如：當i=8時，k=3，可以自行代入驗證。現在引入lowbit(x)：其實就是取出x的二進位制的最低位1，換言之，lowbit(x)= 2^k，k的含義與上面相同。

int

lowbit
(int i)
/*-i 代表i的負數 計算機中負數使用對應的正數的補碼來表示
例如 : i=6（0110） 此時 k=1
-i=-6=(1001+1)=(1010)
i&(-i)=(0010)=2=2^1
c[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+......a[i];
c[i]=a[i-lowbit(i)+1]+a[i-lowbit(i)+2]+......a[i];
*/

①i=7，前7項和：sum[7]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]；

而c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]；c[6]=a[5]+a[6]；c[7]=a[7]；

可以得到：sum[7]=c[4]+c[6]+c[7]。

陣列下標寫成二進位制：sum[(111)]=c[(100)]+c[(110)]+c[(111)]；

②i=5，前5項和：sum[5]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]；

而c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]；c[5]=a[5]；可以得到：sum[5]=c[4]+c[5]；

陣列下標寫成二進位制：sum[(101)]=c[(100)]+c[(101)]；

細細觀察二進位制，樹狀陣列追其根本就是二進位制的應用，結合**演示一下**過程：

int

sum(
int i)
//求區間[1,i]所有元素的和
return ret;
}

7(111)  ans+=c[7]

對於i=5進行演示：

5(101)  ans+=c[5]

最後是單點更新：當我們修改a陣列中某個值時，應當如何更新c陣列呢？回想一下，區間查詢的過程，再看一下上文中列出的過程。這裡宣告一下：單點更新實際上是不修改a陣列的，而是修改樹狀陣列c，向上更新區間長度為lowbit(i)所代表的節點的值。

void

update
(int i,
int val)
//更新單節點的值
}//可以發現 更新過程是查詢過程的逆過程
//由葉子結點向上更新c陣列

最後說一下樹狀陣列的優缺點：①特點：**短小，實現簡單；容易擴充套件到高緯度的資料；

②缺點：只能用於求和，不能求最大/小值；不能動態插入；資料多時，空間壓力大。

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