樹狀陣列入門

今天來討論下樹狀陣列

來觀察這個圖：

令這棵樹的結點編號為c1，c2...cn。令每個結點的值為這棵樹的值的總和（就是c[n]表示陣列a從第一項一直加到n項的和，比如c4，它就是c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=10,和圖中所存資料相同），那麼容易發現：

c1 = a1

c2 = a1 + a2

c3 = a3

c4 = a1 + a2 + a3 + a4

c5 = a5

c6 = a5 + a6

c7 = a7

c8 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8

從圖中不難發現,c[k]儲存的實際上是從k開始向前數k的二進位制表示中右邊第乙個1所代表的數字個元素的和(這麼說可能有點拗口,令lowbit為k的二進位制表示中右邊第乙個1所代表的數字,然後c[k]裡存的就是從a[k]開始向前數lowbit個元素之和)

這麼存有什麼好處呢?無論是樹狀陣列還是線段樹,都用到了分塊的思想,而樹狀陣列採用這樣的儲存結構我想最主要的還是這樣方便計算,我們可以用位運算輕鬆地算出lowbit.分析一下這樣做的複雜度:對於更改元素來說,如果第i個元素被修改了,因為我們最終還是要求和, 所以可以直接在c陣列裡面進行相應的更改,如圖中的例子,假設更改的元素是a[2],那麼它影響到得c陣列中的元素只有c[2],c[4],c[8],我們只需一層一層往上修改就可以了,這個過程的最壞的複雜度也不過o(logn);對於查詢來說,如查詢s[k],只需查詢k的二進位制表示中1的個數次就能得到最終結果,比如查詢s[7],7的二進位制表示中有3個1,也就是要查詢3次,到底是不是呢,我們來看上圖,s[7]=c[7]+c[6]+c[4],可能你還不知道怎麼實現這個過程.

還以7為例,二進位制為0111,右邊第乙個1出現在第0位上,也就是說要從a[7]開始向前數1個元素(只有a[7]),即c[7];

然後將這個1捨掉,得到6,二進位制表示為0110,右邊第乙個1出現在第1位上,也就是說要從a[6]開始向前數2個元素(a[6],a[5]),即c[6];

然後捨掉用過的1,得到4,二進位制表示為0100,右邊第乙個1出現在第2位上,也就是說要從a[4]開始向前數4個元素(a[4],a[3],a[2],a[1]),即c[4].

樹狀陣列我們可以把它理解為一種儲存資料的特殊資料結構，與普通的陣列相似都是用於儲存資料，但與普通陣列不相同的地方在於，比如我想算第1項到第7項的和，普通陣列必須sum+=a[i]（sum初始化為0，1=

樹狀陣列的模板**實現：

intlowbit(

intx)

//計算lowbit，需要特別注意下x一般不能等與0，因為 0&（-0）=0。

void

add(

inti,

intval)

//將第i個元素的值加上val

}intsum(

inti)

//求前i項和

return

s;}根據上面的函式模板，我具個簡單的例子，加深下對樹狀陣列的理解

題目大意：比如說有5個兵營地，開始時給出了每個兵營地的初始值（我們就假設每個兵營地的人數為1人），接下來我們可以有下面幾個操作1.向第i個（1=

首先拿到這個問題後，你可能會覺得這題直接用普通陣列就能實現，但是如果我們將兵營地的數量擴充到50000，對於操作的次數我們也取乙個很大的值，也就是說我們需要頻繁的在乙個數量個數特別大的營地裡進行加入，減少，和查詢的操作，而時間我們也卡得很緊，普通陣列一般方法實現的話一定會超時，這時你想到了什麼呢？沒錯，這個性質不就適合樹狀陣列嗎（當然線段樹也能很好的實現，線段樹的相關知識我以後再更新）。

重新回到題目，假設我們一共接到了3條命令，<1>向第3個營地裡加入2人 <2>向第5個營地裡減少1人 <3>查詢第1個營地到第5個營地的人數總和。

我們用陣列c[i]=1(1=我們直接使用 add(3,2),此時陣列c更新為了c[1]=1,c[2]=1,c[3]=3,c[4]=3,c[5]=1 <2>add(5,-1) 此時陣列更新為c[1]=1,c[2]=1,c[3]=3,c[4]=3,c[5]=0 <3>sum(5) 此時就得出了結果

這篇隨筆就是簡單的介紹下樹狀陣列吧，後面我也會慢慢的把做過的樹狀陣列的題目解題報告貼到上

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樹狀陣列1 樹狀陣列入門

樹狀陣列 入門

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