原碼的存在是最自然而然的。把人類書寫的數按轉換成二進位制，正常情況下，轉換成的二進位制有位數要求，比如，轉換成8位的，等等。但是如果給出的數是5，轉換成二進位制是三位，101，這個時候要在左面補0，補齊八位，成為0000 0101。但是，這個時候的二進位制數並不是我們所要的原碼，還缺了最後一步：符號。如果是正數，最左面的位，也就是最高位要置0，反之，是負數就將其置1。這樣5的表示是0000 0101，而-5的表示是 1000 0101。
這樣，在讀的時候，機器預設8位的最高位是符號位，表示數的正負，而剩餘的7位由二進位制轉換為十進位制，即可得到我們慣用的表示。
所以顯而易見，如果給出的數是255，他的二進位制數是1111 1111，按照我們上面的邏輯，它是正數，應該把最高位置0，但是，0111 1111，機器將會讀成127；與我們最初的數並不相同，即資料出錯。所以啊，8位能表示的數的範圍就是-127到127的整數，如果不在範圍內，卻轉換成8位來存，讀錯也是沒有辦法的事情。
事實上，計算機所能存的數受機器字位數的限制，超出以後就發生溢位，將不能保證資料的正確性。除此之外，由於計算機設計的原因，機器字所能表示的範圍，不止受機器字位數的限制，也受設計過程中預設的約定的影響，一些特殊的值對應的碼可能會被賦予其他含義。
原碼表示中有乙個特殊的數，0。0有兩種表示，+0和-0。其原碼分別為1000 0000，和0000 0000。但是，這是原碼的乙個痛點（然而並不是最大的痛點，最大的痛點是原碼，沒有減法）。
我所能想到的我們為什麼要有反碼的原因，就是減法了。
雖然最後證明是補碼拯救了定點數的減法，但是我想反碼作為乙個中間產品出現，雖然有不足，但也解決了原碼的某些問題。
首先丟擲結論，反碼可以解決減法問題，但是有兩點瑕疵：
互為相反數的兩個數，其反碼各位均異，導致其相加結果為-0（原碼中痛點的延續，此時成為了最大的痛點，這就是主要矛盾消失了，次要矛盾就會顯現出來），而-0與+0的同時存在使得同乙個數值對應不同的編碼，造成很多麻煩；
使用反碼計算減法，要使用迴圈進製，即最高位有溢位，則加1，否則，不加1。這一點使得在正數原碼加法的基礎上要求新的硬體結構。
接下來解釋一下反碼計算的本質，反碼計算如果沒有迴圈進製，就什麼也不是，而迴圈進製，並不是因為恰好每當這個時候加乙個1就是正確答案，它的根源在於計算的機器字位數有限，能表示的範圍有限。
接下來描述機器字有限的後果。例如八位，只能表示-127到+127，如果不把第一位當做符號位，其範圍也只是0到255。255再加1時，發生溢位，但是溢位只是因為沒有更高的位來存我們的進製，此時現有的八位為0000 0000，若不計溢位，即我們規定最高位沒有進製，則此時值為0；以此類推，256=0,257=1,...,511=255,512=0,...;永遠在0到255之間迴圈往復，這就是取模運算。
需要區分的是取模運算和取餘運算，兩者的計算原理都是一樣的，a/b=c......d,其中a、b、c、d都是整數，取餘或者取模運算的結果就是d。但是a/b=c......d的結果並不是唯一的，比如 4/8=0......4,或者4/8=1......-4,再比如-7/2=-3......-1,或者-7/2=-4......1。這其中的不同，導致了取餘和取模的區分。對於取餘運算來說，要求商盡可能趨近0，比如雖然4/8的商可以是0，也可以使1，但是因為我們要趨近0，所以對於取餘運算來說，取得的餘數就是4；在比如，-7/2的商可以是-3，也可以使-4,但是因為要趨近與0，所以商是-3，餘數是-1。取模運算並不是與取餘運算完全相反，因為它並不是要求盡量不趨近於0，而是要求盡量趨近於負無窮，所以，對於商在零點以及正半軸來說，跟取餘運算是一樣的，但是對於負半軸來說，恰好相反，比如，-7/2的商，因為要求趨近於負半軸，所以商是-4，餘數是1。事實上，取模運算的整數商要趨於負無窮，這一要求的本質是，要求餘數必須是大於等於0的數。也就是說，我們取模運算得到的結果一定是自然數。而自然數對於計算機來說是無符號整數，表示是最簡單的了。
所以取模運算是計算機乙個十分重要的運算，不僅是因為機器字的有限位決定了取模運算的常見性，更重要的是因為取模運算本身契合了計算機的位數有限，無符號整型的表示。
反碼減法的本質是，將有符號整型的減法，轉換成無符號整型的加法，而無符號整型的加法是模運算。
(1)z=y-x z'=y-x+256=y+[128+(127-x)]+1 z是我們想要的結果
如果z>=0,則z'%256=z，z'/256=1
如果z<0,則z'%256=256-|z|=128+(127-|z|)+1=z』,所以y+[128+(127- x)]=128+(127-|z|)， z'/256=0
(2)z=-y-x z'=256*2-y-x=[128+(127-x)]+[128+(127-y)]+2
z'%256=256-|z|=128+(127-|z|)+1，所以[128+(127-x)]+[128+(127-y)]+1=128+(127- |z|), z'/256=1
總結以上兩點，在參與運算時，負數全部化成128+（127-x）的形式，轉化後的兩數相加得到和，結果為和取模與和除以模的商相加，如果此時的結果大於128，那麼說明結果是負數，現在的形式是128+（127-z）；反之，說明結果是正數，現在的形式即為結果。這就是反碼和迴圈進製的本來面目了。
說實話，從原碼到反碼，是一項十分精彩的進步，之後從反碼到補碼就沒有這個精彩了。
補碼和反碼的親緣關係很近。補碼之所以成為定點數減法的最終解決方案，在於他完美地解決了反碼中的兩個痛點。
補碼的定義：
從反碼的本質看補碼的產生：
(1)z=y-x z'=y-x+256=y+[128+(127-x+1)] z是我們想要的結果
如果z>=0,則z'%256=z
如果z<0,則z'%256=256-|z|=128+(127-|z|+1)=z',所以y+[128+(127- x+1)]=128+(127-|z|+1)
(2)z=-y-x z'=256*2-y-x=[128+(127-x+1)]+[128+(127-y+1)]
z'%256=256-|z|=128+(127-|z|+1)，所以[128+(127-x+1)]+[128+(127-y+1)]=128+(127-|z|+1)
而從無符號整型的角度看負數的補碼即為128+(127-x+1)
由上可知反碼的本質，也是補碼的本質，改變了形式，使得對於商的判斷融入了取模運算本身簡化了運算的邏輯。然而這一舉措的實質是，對於反碼來說，-x的反碼是（模-1-x），而-x的補碼是（模-x），從「模-1」到「模」的變化，是從反碼到補碼的變化的實質。舉個例子，y-x，反碼的計算，從無符號整型的角度看，本身是y+[128+（127-x）]，即255+（y-x），當（y-x）大於0的時候，由於計算機的模運算，結果將會變為[255+（y-x）]%256=[256+(y-x-1)]%256=y-x-1，即，在存在進製的情況下，反碼計算的直接結果，由於為了進製滿足模，而從後面的式子裡拿走了乙個1，導致結果總是少1，所以迴圈進製需要加1。
而現在，在補碼的運算過程中，從無符號整型的角度看，本身是y+[128+(127-x+1)]，即256+（y-x），當y-x是正數以及0的情況下，計算機的取模運算直接消除了式子中的256，得到正確結果。所以說，從反碼到補碼的變化實質，是從「模-1」到「模」的變化。
根據以上解釋，稍加思考，就能明白所謂的迴圈進製，本質是為了彌補進製從後面式子中拿走的1，所以在存在進製的情況下，要為得到的結果加1。而在補碼中，並不存在為了進製而從後面的式子裡拿1這個操作，所以，進製不進製並不造成影響。由此，消除了迴圈進製。
同時，由於補碼的形式，使得-0的補碼與+0的補碼相同，即都為0000 0000，消除了0的編碼不唯一的缺點（總算是克服了）。同時，由於八位的取值是從-127到127，所以補碼也是從256-127到256-0，以及從0到127，並起來，即為[0,127]並[129,256],其中128沒有任何乙個數的補碼是它。約定128是-128（這個本來不存在的數）的補碼。
注意：關於定點數的位數擴充套件，需要注意的是，位數擴充套件要向遠離小數點的方向擴充套件。擴充套件時，左邊擴充套件出的位，用符號位填充（純整數），右邊擴充套件出的位用0填充（純小數）
算術右移，左邊空出來的位置要用符號位補齊；算術左移，右邊空出來的位置補0即可。
定點數表示方法 原碼,補碼,反碼,移碼
1.真值和機器數 真值 數的實際值,用正負號和絕對值的某進製形式來表示,如 1010,12,ffff等.機器數 真值在計算機中的二進位制表示,特點是符號數位化且數的大小受機器字長限制,其表示形式有原碼,補碼,反碼,移碼等.2.原碼.1 定點小數 left x left x right 1 x le ...
關於原碼 補碼 反碼的理解
補下基礎 原碼 補碼 反碼 正數補碼 反碼都和原碼一樣，符號位為0 負數原碼 符號位為1，其他位為 絕對值表示的二進位制數 反碼 原碼符號位不變 其他位按位取反 補碼 反碼 1 反碼的問題是 00000000 為0，反碼為 00000000 10000000 也為0，反碼為 11111111 這樣0...
原碼 反碼 補碼的理解
1 討論原碼之前首先需要了解兩個概念 機器數和真值。a.乙個數值在計算機中的二進位制表示形式，就稱為這個數值的機器數。機器數是帶符號的，其中最高位是符號位，1表示負數，0表示正數。比如，1100 0000就是 64的機器數，即在計算機中的二進位制表示形式。同樣的，0100 0000就是64的機器數。...