斐波那契數列 從分治法到動態規劃

分治法的適用條件:

滿足前三條即可用分治法；如果只滿足前兩條，則考慮用貪心或動態規劃思想；如果還滿足第四條，子問題之間包含公共子問題，此時用分治法的效率比較低，因為公共子問題被重複多次計算，一般使用動態規劃思想比較好。

分治法解題的步驟:

對於上面分治法的適用條件，當滿足條件四時使用分治法求解問題時會重複求解公共子問題，這使得分治法的效率變低了。

動態規劃思想的核心就是在劃分子問題並求解子問題後儲存所有子問題的解，在求解其他子問題時，如果遇到前面已經求解過的子問題(即公共子問題)，只需直接查詢我們儲存的該子問題的解即可。

動態規劃思想的有效性依賴於問題本身具有的兩個重要性質:最優子結構性質和子問題重疊性質。

動態規劃演算法的步驟:

採用分治法計算斐波那契數列第n個數時，遞迴的子問題中含有大量重複子問題，主要表現在計算fibonacci（n - 1）和fibonacci（n - 2）時需要計算更小的子問題，而這些子問題被計算過多次，因此效率很低。

#include

#include
using
namespace std;
class
solution};
intmain()

#include

#include
using
namespace std;
class
solution
return r[n -1]
;}};
intmain()

由於我們最終只需要第n個數的結果，前n-1個數的結果我們並不需要，而上面的計算方法中，我們將前n-1個數的結果都儲存了下來，這對於空間是一種浪費。

我們可以採用迭代更新的方式，只用a1和a2兩個變數記錄每一輪for迴圈時第n-1和第n個數的值。

#include

#include
using
namespace std;
class
solution
return a2;}}
;int
main()

斐波那契數列還可以寫成矩陣乘法的形式:

[ ai

−1ai

−2][

1110

]=[a

iai−

1](i

≥2

)\left[ \begin} & }\end\right] \left[ \begin & \\\\ & \end\right]=\left[ \begin} & }\end\right] \quad(i \geq 2)

[ai−1​

​ai−

2​​]

⎣⎡​1

1​10

​⎦⎤​

=[ai

​​ai

−1​​

](i≥

2)於是有:

[ a1

a0](

[111

0])n

−1=[

anan

−1](

n≥1)

\left[ \begin} & }\end\right] \left( \left[ \begin & \\\\ & \end\right] \right)^=\left[ \begin} & }\end\right] \quad(n \geq 1)

[a1​​a

0​​]

⎝⎛​⎣

⎡​11

​10​

⎦⎤​⎠

⎞​n−

1=[a

n​​a

n−1​

​](n

≥1)這樣就把fib數列問題轉化成了乙個求矩陣冪的運算。計算a的n次方最簡單的方法就是a連乘n次，但這樣的時間複雜度為o（n）。我們可以把a的n次方拆成下面的形式:

當n為偶數時

a n=

an/2

an/2

a^=a^ a^

an=an/

2an/

2當n為奇數時

a n=

a(n−

1)/2

a(n−

1)/2

a^=a^ a^

an=a(n

−1)/

2a(n

−1)/

2要求a的n次方，我們先求a的n/2次方，再把n/2的結果平方一下。如果把求n次方的問題看成乙個大問題，把求n/2看成乙個較小的問題。我們可以使用分治法的思路來求a的n次方，這樣就只需要logn次運算。

#include

#include
using
namespace std;
// 定義2x2矩陣
struct matrix2by2 
int m_00;
int m_01;
int m_10;
int m_11;};
// 定義2x2矩陣乘法
matrix2by2 matrixmultiply
(const matrix2by2 &matrix1,
const matrix2by2 &matrix2);}
// 分治法計算n個2x2矩陣相乘
matrix2by2 matrixpower
(int n)
else
if(n %2==
0)else
if(n %2==
1)return matrix;
}// 計算斐波那契數列第n個數
intfibonacci
(int n)
;// 如果n為1或2
if(n <=2)
return result[n -1]
; matrix2by2 powernminus2 =
matrixpower
(n -1)
;return powernminus2.m_00;
}int
main()

動態規劃 斐波那契數列

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