給定乙個整數 n，求以 1 … n 為節點組成的二叉搜尋樹有多少種？
示例:
輸入: 3
輸出: 5
解釋:給定 n = 3, 一共有 5 種不同結構的二叉搜尋樹:
1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3
給定乙個有序序列 1 … n，為了根據序列構建一棵二叉搜尋樹。我們可以遍歷每個數字 i，將該數字作為樹根，1 … (i-1) 序列將成為左子樹，(i+1) … n 序列將成為右子樹。於是，我們可以遞迴地從子串行構建子樹。
在上述方法中，由於根各自不同，每棵二叉樹都保證是獨特的。
可見，問題可以分解成規模較小的子問題。因此，我們可以儲存並復用子問題的解，而不是遞迴的（也重複的）解決這些子問題，這就是動態規劃法。
演算法
問題是計算不同二叉搜尋樹的個數。為此，我們可以定義兩個函式：
可見，g(n) 是我們解決問題需要的函式。
稍後我們將看到，g(n
)g(n)
g(n)
可以從f(i
,n
)f(i,n)
f(i,n)
得到，而f(i
,n
)f(i,n)
f(i,n)
又會遞迴的依賴於g(n
)g(n)
g(n)
。首先，根據上一節中的思路，不同的二叉搜尋樹的總數g(n
)g(n)
g(n)
，是對遍歷所有i(1 <= i <= n) 的 f(i
,n
)f(i,n)
f(i,n)
之和。換而言之：
g (n
)=∑i
=1nf
(i,n
)g(n)= \sum_^n f(i,n)
g(n)=i
=1∑n
f(i
,n)特別的，對於邊界情況，當序列長度為 1 （只有根）或為 0 （空樹）時，只有一種情況。亦即：
g (0
)=1,
g(1)
=1
g(0)=1,g(1)=1
g(0)=1
,g(1
)=1給定序列1 ... n，我們選出數字i作為根，則對於根i的不同二叉搜尋樹數量f(i
,n
)f(i, n)
f(i,n)
，是左右子樹個數的笛卡爾積，如下圖所示:
舉例而言，f(3
,7
)f(3, 7)
f(3,7)
，以 3 為根的不同二叉搜尋樹個數。為了以 3 為根從序列 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] 構建二叉搜尋樹，我們需要從左子串行 [1, 2] 構建左子樹，從右子串行 [4, 5, 6, 7] 構建右子樹，然後將它們組合(即笛卡爾積)。
巧妙之處在於，我們可以將 [1,2] 構建不同左子樹的數量表示為g(2
)g(2)
g(2)
, 從 [4, 5, 6, 7]` 構建不同右子樹的數量表示為g(4
)g(4)
g(4)
。這是由於g(n
)g(n)
g(n)
和序列的內容無關，只和序列的長度有關。於是，f(3
,7)=
g(2)
⋅g(4
)f(3,7)=g(2)⋅g(4)
f(3,7)
=g(2
)⋅g(
4)。 概括而言，我們可以得到以下公式：
f (i
,n)=
g(i−
1)⋅g
(n−i
)f(i,n)=g(i−1)⋅g(n−i)
f(i,n)
=g(i
−1)⋅
g(n−
i)將公式 (1)，(2) 結合，可以得到g(n
)g(n)
g(n)
的遞迴表達公式：
g (n
)=∑i
=1ng
(i−1
)⋅g(
n−i)
g(n)= \sum_^n g(i−1)⋅g(n−i)
g(n)=i
=1∑n
g(i
−1)⋅
g(n−
i)為了計算函式結果，我們從小到大計算，因為g(n
)g(n)
g(n)
的值依賴於g(0
)…g(
n−1)
g(0)…g(n−1)
g(0)…g
(n−1
)。根據以上的分析和公式，很容易實現計算g(n
)g(n)
g(n)
的演算法。 下面是示例:
public
class
solution
}return g[n];}
}
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