二叉搜尋樹，又被稱為是二叉查詢樹、二叉排序樹，這種樹其左子樹所有節點的值均小於根節點的值，其右子樹所有節點的值均大於根節點的值，並且其左、右子樹均為二叉搜尋樹。方法一：動態規劃法空樹也是二叉搜尋樹。
這道題可以用動態規劃的思想去解決。由於給定的節點值為1~n，是一組從小到大順序排列的資料，其中，任意乙個值均可以作為根節點出現，記為 i，i的取值範圍為1 ~ n。當以 i 為根節點時，為了滿足搜尋樹的性質，其左子樹必定有1 ~ i-1 構成，右子樹必定由 i+1 ~ n 構成。
建立動態轉移陣列dp， dp[n] 表示由 1 ~ n構成的二叉搜尋樹的個數；記 f( i ) 為由 i 作為根節點時，其對應的二叉搜尋樹的個數，則有f(i) = dp[i-1] * dp [n-i]。
顯然有：
d p[
n]=∑
i=1n
f(i)
=∑i=
1n(d
p[i−
1]∗d
p[n−
i]
)dp[n] = \sum\limits_^nf(i) = \sum\limits_^n(dp[i-1] * dp [n-i])
dp[n]=
i=1∑
nf(
i)=i
=1∑n
(dp
[i−1
]∗dp
[n−i
])
int numtrees
(int n)
}return dp[n]
;}
複雜度：方法二：卡塔蘭數n階遞推關係求解時間複雜度： o(n^2) ( ∑i=
2n（（
n+2）
(n−1
)2
）\sum\limits_^n（\frac）
i=2∑n
（2（n
+2）(
n−1)
）)。空間複雜度： o(n) 。
上述問題其實相當於是卡塔蘭數。
卡塔蘭數是組合數學中乙個常在各種計數問題**現的數列。
令h(0)=1,h(1)=1，卡塔蘭數滿足遞迴式：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (其中n>=2),這是n階遞推關係，與上面我們推導出的動態轉移方程一致。
卡塔蘭數的一般公式為 h(n
)=c2
nn(n
+1
)h(n)=\ \frac^}
h(n)=(
n+1)
c2nn
int numtrees
(int n)
return res /
(n +1)
;}
複雜度：方法三：卡塔蘭數1階遞推關係求解時間複雜度： o(n) ；
空間複雜度： o(1) 。
卡塔蘭數的n階遞推關係，還可以化簡為1階遞推關係:
h (n
)=(4
n+2)
(n+2
)h(n
−1)(
n>1)
h(0)
=1
h(n)= \frach(n-1) \quad (n>1) \quad h(0)=1
h(n)=(
n+2)
(4n+
2)h
(n−1
)(n>1)
h(0)
=1
int numtrees
(int n)
return res;
}
複雜度：時間複雜度： o(n) ；
空間複雜度： o(1) 。
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