將正整數n表示為一系列正整數之和，n=n1+n2+n3+n4+......+nk （其中，n1>=n2>=n3>=n4........>=nk>0,k>=1）
正整數n的這種表示成為正整數n的劃分。正整數n的不同劃分個數成為正整數n的劃分數，記作p（n）。
例如，正整數6有如下11種劃分:
6;5+1;
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1;
其實這種問題可以認為是把n劃分為 加數小於或等於某個數的劃分，在這裡把這個數設為m。例如，對6的劃分可以認作是將6劃分為加數小於等於6的劃分，因為6的加數確實小於等於6，為什麼要引入這個m呢，是因為我們發現，從這個角度思考，比較容易求解。我們將劃分的種類數記為q（n,m），表示n劃分為小於或等於m的數的和的劃分數。
在遞迴過程中，要有遞迴出口，所以下面是對遞迴引數的處理。
1.n==1,時，顯然 q(n,m)=1;
2.m==1時，顯然 q(n,m)=1;
3.n，因為在n的劃分數均小於或等於n,所以q(n,m)=q(n,n);
4.n==m時，即q(n,n)；
此時就是對n的劃分出來的數沒有限制，預設限制就是不大於n，此時劃分的總類數要分兩種情況才比較好解決：
1.劃分出來的數包含n（或m，因為n==m）:那只有一種方式 比如 6的劃分 只有 6;一種方式
2.劃分出來的數不包含n（或m，因為n==m）:就可以認為是將6劃分出來的數都小於6，其實就是都小於或等於5,接下來 其實就是求出來q(n,n-1)或者是q(n,m-1),此時n>m-1,放到遞迴方程裡就是求解q(n,m) n>m
綜合起來 q(n,n)=1+q(n,m-1)；
5.n>m時，
當遇到這個問題時，其實可以看做是對n的劃分有了條件，就是所有的劃分出來的數小於m，在上文中，6有11種劃分方式，那是沒有對6劃分出來的數進行限制，當要使劃分出來的數都小於某個數時比如5時，那就不是11種了。
5+1;
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1;
這個時候分兩種情況：包含m和不包含m ：
不包含m就是：
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1;這些情況，其實就是求6的劃分出來的數小於等於4的情況,放到遞迴方程就是 q(n,m-1)
包含m就是：
5+1;
這個時候，確定這種劃分數量的時候m不再是主角，我們只要求出來n-m的劃分情況就行了，因為此時的m的劃分情況，取決於n-m。 比如包含m=5的劃分情況就是 6-5=1的情況，比如包含4的劃分情況就是求6-4=2,2的沒有限制的劃分情況。放到遞迴方程裡面就是q(n-m,m)。
綜上：
q( n, n ) = 1, 當 n ==1;
q( n, n ) = 1, 當m == 1;
q( n, n ) = q( n,n ) , 當n < m;
q( n, n ) = q( n, m-1) +1 , 當n == m;
q( n, m ) = q( n - m, m ) + q( n , m -1) , 當n > m;
思路：來自
#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#define cla(a, sum) memset(a, sum, sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;
int q(int n,int m)
else if(n>m)else if(n下面來講一下dp做法，其實理解了上面的遞迴思路，dp做法就很容易了，dp做法說白了就是狀態轉移，量的轉移。
dp[n][m]表示「和為n、最大劃分數為m」時，組合的數量。
根據上面的思路可以寫出下面的dp式：
n=1時，無論m等於多少，都只有一種的劃分，dp[1][m] = 1
m=1時，無論n等於多少，都只有一種的劃分，dp[n][1] = 1
n==m時，分兩種情況，dp[n][m] = 1 + dp[n][m-1]：
劃分數中包含m時，只有一種
劃分數中不包含m時，那最大值只能是m-1，為dp[n][m-1]
nn>m時，分兩種情況，dp[n][m] = dp[n-m][m] + dp[n][m-1]:
劃分數中包含m時，最後乙個劃分數必須為m（前面也可以有m）sum=n，dp[n-m][m]
2. 劃分數中不包含m時，那最大劃分數只能是m-1，dp[n][m-1]
附上**：也是 這個題目的題解
#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#define cla(a, sum) memset(a, sum, sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=3e4;
int n;
int dp[125][125];
void init()//打表預處理 }}
int main()
} }for(i=1;i<=50;i++)//dp2[i][j]把i劃分成最大數為j的不同的正整數的種類數 }
//dp3[i][j]把i劃分成最大數為j的正奇數的種類數
for(i=1;i<=50;i++)
else dp3[i][j]=dp3[i][j-1];
//偶數時，i的劃分中不能包含j。
}} }
}int main()
return 0;
}
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