本文中，我將介紹半群，獨異點，群，子群，阿貝爾群，陪集和拉格朗日定理
目錄
半群，獨異點，群的定義
子群判定定理
阿貝爾群
迴圈群陪集與拉格朗日定理
在理解群之前，我們要先清楚什麼是代數系統。其實代數系統可以簡單理解成使用符號表示的某一種運算。其實和程式設計中演算法的定義有點像，總的來說就可以把運算當成乙個黑盒子，我們給定乙個輸入，那麼就可以根據黑盒子的運算規則得到相應的輸出。
我們舉乙個生活中的例子。有一台自動售貨機，假設售貨機只接收五元紙幣和十元紙幣，我們可以根據接收貨幣和吐出商品的情況給出這個代數系統的運算結果集，我們用*表示這個運算。
自動售貨機運算系統
運算符號*
五元紙幣
十元紙幣
五元紙幣
橘子水可樂
十元紙幣
可樂冰淇淋
上面的這個運算比較容易理解，就是你投入兩張五元紙幣，可以買到橘子水，投入一張十元紙幣和一張五元紙幣可以買到可樂，以此類推。
那麼由於我們投入的是紙幣，得到的是飲料或者食物，所以我們這個代數系統是不封閉的。
相對的，假如我們投入的是紙幣，得到的也是紙幣，那麼我們就稱這個代數系統是封閉的。
封閉的代數系統 △
abaa
bbba
上圖的代數系統就是封閉的，下面我們來給出群的定義。
半群的定義：設是乙個代數系統，若*滿足：
1）在g上的*運算是封閉的
2）g上的*運算是可結合的（如a*b*c=a*(b*c)）
則為半群。注意，這裡的*不是單指乘法運算，而是廣義的類似未知數的乙個運算子代號，可以表示任意運算。
假設是半群，並且：
3）g上的*運算存在么元（或者說單位元）e
那麼是獨異點。這裡的么元對於乘法運算來說就是1，對於加法運算來說就是0.
假設是乙個獨異點，並且：
4）對於g中的每乙個元素a，都存在元素b使得a*b=e
那麼是群，此時b為a的逆，a也為b的逆，可以記為b=a^(-1)
除了么元之外，還有乙個定義叫零元。在乘法中，么元乘以任何乙個數都是它本身，而零元乘以任何乙個數都是零元。
例1： 設集合s=，定義在s上的二元運算*如下表所示
定義在s上的*運算 *
淺色深色
淺色淺色
淺色深色
深色深色
其中，淺色就是么元，深色就是零元。
注：群中不可能有零元。
當代數系統只滿足*運算在g中封閉這個條件的時候，是廣群，我們用一張圖描述各種群的包含關係。
設是乙個群，如果g是有限集，那麼稱為有限群，g中元素的個數通常稱為有限群的階數，記為|g|；如果g是無限集，那麼稱為無限群。
子群判定定理1：設是乙個群，b是g的非空子集，如果b是乙個有限集，那麼，只要運算*在b上封閉，必定是的子群。
子群判定定理2：設是群，s是g的非空子集，如果對於s的任意元素a，b有a△b^(-1)∈s，則是的子群。
如果群中的*運算時可交換的，則稱為阿貝爾群，或稱交換群
乙個群是阿貝爾群的充要條件是，對於任意a，b∈g，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)
設群中存在乙個元素a，是的g中所有的元素都是由a的冪構成的，則稱群為迴圈群，元素a稱為群的生成元
例如，60°就是群的生成元，該群是乙個迴圈群。
陪集的定義：設是的子群，a∈g，則集合h（h）稱為由a確定的h在g中的左陪集（右陪集），簡稱為h關於a的左陪集（右陪集）
例如：設g=r*r，r為實數集，g上的乙個二元運算+定義為
+ =
則，是乙個具有么元<0, 0>的阿貝爾群
設h=，那麼是的乙個子群。對於∈g, h關於的左陪集為h.
其中g為笛卡爾座標系，h為y=2x的的直線，h為與h平行的直線，因為我們可以找到乙個實數b，使得y+y0=2(x+x0)+b
拉格朗日定理：設群是群的乙個子群，則有：
a）r=是g的乙個等價關係。對於a∈g，若記[a]r=，則有[a]r=ah
b）如果g是有限群，|g|=n, |h|=m，則m|n（整除關係）
證明如下：
（a）對於任意a∈g，必有a^(-1)∈g，使得a*a^(-1)=e∈h，所以∈r，滿足自反性
若∈r，則a^(-1)*b∈h，因為h是g的子群，所以有(a^(-1)*b)^(-1) = b^(-1)*a∈h，所以∈r，滿足對稱性
若∈r， ∈r，則有a^(-1)*b∈h並且b^(-1)*c∈h，由於運算的封閉性，有
a^(-1)*b*b^(-1)*c∈h，即a^(-1)*c∈h，即∈h，滿足傳遞性
綜上所述，r是g上的乙個等價關係，得證。 吧
對於a∈g，我們有：b∈[a]r，當且僅當∈r，即當且僅當a^(-1)*b∈h，即b∈ah。因此[a]r=ah
（b）由於r是g中的乙個等價關係，可以將g劃分為等價類[a1]r,[a2]r,...[ak]r.
有g=∪[ai]r=∪aih
對於h中任意兩個不相等的h1和h2，a∈g，必有a*h1 ≠ a*h2，所以有|aih|=|h|=m, i=1,2...k
所以n = |g| = (a1+a2+a3+...+ak)h = mk, 得證
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