求陣列中第k個最小數

一、問題描述

給定乙個陣列，陣列中的資料無序，在乙個陣列中找出其第k個最小的數，例如對於陣列x，x = ，則其第2個最小的數為2。

二、解題思路

本演算法跟快排的思想相似，首先在陣列中選取乙個數centre作為樞紐，將比centre小的數，放到centre的前面將比centre大的數，放到centre的後面。如果此時centre的位置剛好為k，則centre為第k個最小的數；如果此時centre的位置比k前，則第k個最小數一定在centre後面，遞迴地在其右邊尋找；如果此時centre的位置比k後，則第k個最小數一定在centre後面，遞迴地在其左邊尋找。

注意：centre的位置=其下標值+1，因為陣列中的第乙個元素的下標為0。

從上面的描述中，我們可以看到這個演算法運用了減治的方法求解。減治的思想與分治非常相似，同樣是在一次操作中，削減問題的規模，只是分治把每個子問題求解後，要合併每個子問題的解才能得到問題，而減治的方法，卻不用合併子問題的解，子問題的解，直接就是原問題的解。舉個例子來說，就像快排和二分查詢演算法，前者是分治，後者是減治。因為快排要等到所有的子陣列都排完序，原陣列才有序，而二分查詢卻不用，它每執行一次查詢，直接丟棄一半的陣列，而不用合併子問題的解。不過也有不少書，把他們都歸為分治法。

三、**實現

考慮到**的通用性，使用了模板函式，如果看不懂模板函式，則只需要忽略template，並把t看作是乙個型別即可。**如下：


//返回陣列中的第k個最小元素的啟動函式，注意會破壞原陣列
template
<
typename t>
t findthekmin
(t *x, int x_size, int k)
; 
//實現查詢陣列中第k個最小元的功能函式
template
<
typename t>
t thekmin
(t *x, int left, int right, int k)
; 
template
<
typename t>
t findthekmin
(t *x, int x_size, int k)
template
<
typename t>
t thekmin
(t *x, int left, int right, int k)
//把樞紐放在正確的位置
swap(x[i], x[right]);
//如果此時centre的位置剛好為k，則centre為第k個最小的數
if(i+
1 == k)
return x[i];
else
if(i+
1< k)
else
}

**說明：

在上面的**中，我們要注意，thekmin函式的最後的if-else，這個演算法不同於快排，當樞紐不是要找到元素時，它只會選擇其中乙個方向的子陣列繼續尋找，而不像快排那樣，會在兩個方向的子陣列中繼續。從上面的**來看，其執行速度應該在使用相同選取樞紐的策略的快排之上，時間複雜度為o(n)。

同時，當k值不合理時，我們只能返回第0個元素，這點有一點的不合理，但是，我不知道該返回乙個什麼樣的合適的值，因為它是泛型的。

其實，這段**有兩個缺陷，第乙個，就是在查詢時，破壞了陣列原來的資料（交換了位置）；第二個是，當型別t的複製和構造開銷較大時，直接多次交換兩個元素，可能會帶來相當大。

另一種實現

下面，再來看看另一種實現，演算法的思想和策略相同，但是使用了乙個跟蹤陣列track，用來跟蹤使用第一種方法下的資料的交換情況，利用跟蹤陣列的元素交換代替原陣列中元素的交換，解決了上面提到的兩個問題。它的實現如下：


//返回陣列中的第中個最小元素的下標的啟動函式，不破壞原陣列
template
<
typename t>
intindexofkmin
(const t *x, int x_size, int k)
; 
//實現查詢陣列中第k個最小元下標的功能函式
template
<
typename t>
intthekmin
(const t *x, int *track, int left, int right, int k)
; 
template
<
typename t>
intindexofkmin
(const t *x, int x_size, int k)
template
<
typename t>
intthekmin
(const t *x, int *track, int left, int right, int k)
//把樞紐放在正確的位置
swap(track[i], track[right]);
//如果此時centre的位置剛好為k，則centre為第k個最小的數，
//返回其在真實陣列中的下標，即track[i]
if(i+
1 == k)
return track[i];
else
if(i+
1< k)
else
}

**說明：

從上面的**，我們可以看出，這個函式是返回陣列中的第k個最小元的下標，所以當k不合理時，就可以返回-1來表示這個錯誤，同時，它使用了乙個跟蹤陣列，track陣列中的內容，實質是原陣列中資料的乙個索引，利用跟蹤陣列的元素的交換來代替了原陣列元素的交換，因為該跟蹤陣列的資料型別是int，所以其交換速度相當快，從而解決了上面提到的兩個問題。

從上面的**，我們也可以看到，其時間複雜度與前面的實現是一樣的，也為o(n)，但是，這個實現方法卻帶來了一定的空間開銷，它開闢了乙個與原陣列元素個數相等的一維陣列，用於跟蹤原陣列中的元素的交換情況。

至於在實際中，要使用哪一種演算法，取決於使用者的需要！

求陣列中第k個最小數

有序矩陣中的第k個最小陣列和

陣列中的第k小數

求陣列中第K大的數

求陣列中第k個最小數

有序矩陣中的第k個最小陣列和

陣列中的第k小數

求陣列中第K大的數

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