GSL 系列 6 線性代數 2 LU 分解

2021-10-05 13:49:20 字數 3903 閱讀 9984

關於 lu 分解的背景知識介紹，參見：gsl 系列 6 — 線性代數 1 — 背景知識 1 (lu 分解) 節，本篇只說明相關函式

轉置矩陣物件儲存著一列索引。第 j

jj 個數為 k

kk ，表示轉置矩陣第 j

jj 列是相應單位矩陣的第 k

kk 列，定義如下：

// gsl_permutation.h


struct gsl_permutation_struct


;typedef


struct gsl_permutation_struct gsl_permutation;
將矩陣a進行 lu 分解，然後得到轉置矩陣p，lu矩陣儲存在a中，signum為 1 或 -1，代表交換的次數，奇數次為 -1，偶數次為 1

因為下三角（梯形）矩陣對角線為 1，不儲存，a剛好可以方向lu

// gsl_linalg.h


intgsl_linalg_lu_decomp


(gsl_matrix * a, gsl_permutation * p,


int*signum)


;int


gsl_linalg_complex_lu_decomp


(gsl_matrix_complex * a, 


gsl_permutation * p,


int*signum)


;
solve版本：給lu矩陣，p轉置矩陣，向量b，得到解向量x

svx版本: 給lu矩陣，p轉置矩陣，向量 b（就是x），得到解向量x，解向量存在x中，即solve的置換版本

refine版本：應用迭代改進的辦法求解x，還需要給乙個向量工作空間work，長度為x的長度

// gsl_linalg.h


int gsl_linalg_lu_solve (


const gsl_matrix * lu,


const gsl_permutation * p,


const gsl_vector * b,


gsl_vector * x)


;int gsl_linalg_complex_lu_solve (


const gsl_matrix_complex * lu,


const gsl_permutation * p,


const gsl_vector_complex * b,


gsl_vector_complex * x)


;int gsl_linalg_lu_svx (


const gsl_matrix * lu,


const gsl_permutation * p,


gsl_vector * x)


;int gsl_linalg_complex_lu_svx (


const gsl_matrix_complex * lu,


const gsl_permutation * p,


gsl_vector_complex * x)


;int gsl_linalg_lu_refine (


const gsl_matrix * a,


const gsl_matrix * lu,


const gsl_permutation * p,


const gsl_vector * b,


gsl_vector * x,


gsl_vector * work)


;int gsl_linalg_complex_lu_refine (


const gsl_matrix_complex * a,


const gsl_matrix_complex * lu,


const gsl_permutation * p,


const gsl_vector_complex * b,


gsl_vector_complex * x,


gsl_vector_complex * work)


;
類似地，分為無置換版本 (invert) 和置換版本 (invx)，無置換時，存在矩陣inverse中，有置換時，存在lu中

// gsl_linalg.h


int gsl_linalg_lu_invert (


const gsl_matrix * lu,


const gsl_permutation * p,


gsl_matrix * inverse)


;int gsl_linalg_complex_lu_invert (


const gsl_matrix_complex * lu,


const gsl_permutation * p,


gsl_matrix_complex * inverse)


;int gsl_linalg_lu_invx (gsl_matrix * lu,


const gsl_permutation * p)


;int gsl_linalg_complex_lu_invx (gsl_matrix_complex * lu,


const gsl_permutation * p)


;
最好避免通過直接求逆的方法來求解線性方程組，因為線性方程組求解函式更有效率和更準確

求解 det⁡(

a)

\det(a)

det(a)

，需要給lu矩陣

// gsl_linalg.h


double gsl_linalg_lu_det (gsl_matrix * lu,


int signum)


;gsl_complex gsl_linalg_complex_lu_det (gsl_matrix_complex * lu,


int signum)


;
求解 ln⁡(

∣det⁡(

a)∣)

\ln(|\det(a)|)

ln(∣det(a

)∣)，需要給lu矩陣

// gsl_linalg.h


double gsl_linalg_lu_lndet (gsl_matrix * lu)


;double gsl_linalg_complex_lu_lndet (gsl_matrix_complex * lu)


;
求解 det⁡(

a)/∣

det⁡(a

)∣

\det(a)/|\det(a)|

det(a)

/∣det(a)

∣，需要給lu矩陣

// gsl_linalg.h


int gsl_linalg_lu_sgndet (gsl_matrix * lu,


int signum)


;gsl_complex gsl_linalg_complex_lu_sgndet (gsl_matrix_complex * lu,


int signum)


;

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