求旋轉體體積

2021-10-07 12:40:33 字數 885 閱讀 2157

將圖形想象成無數個超級小的圓柱體疊在一起,則dv=πr^2dx或dy,其中r根據函式和旋轉軸確定,dx或dy由旋轉軸的選擇確定。一般情況下(即y用x表示),繞x軸或y=a旋轉時,用圓盤法

例如y=x^2與y=2和y軸圍成的圖形繞y軸旋轉,則r=√(y),選擇dy,積分上下限為0到2

y=x^2與x=2和x軸圍成的圖形繞x軸旋轉,則r=x^2,選擇dx,積分上下限為0到2

假如旋轉體中,每一層都是兩個同心圓圍成的區域,即整個旋轉體類似於乙個甜甜圈,則

其中f(x)離旋轉軸y=a更遠

例如,下圖是y=-x+4和y=x的影象,兩者與y軸圍成的影象繞x軸旋轉時,f(x)為-x+4,a=0,但假如繞y=4旋轉,此時f(x)為x,a=4

將圖形看作是一堆圓柱體計算厚度的表面一層套在一起(更通俗一點,就是長短和半徑不同的廁紙紙筒套在一起),此時dv=2πr*|f(x)|dx,r由旋轉軸和函式確定,選擇|f(x)|dx還是|f(y)|dy由旋轉軸確定, 一般情況下(即y用x表示),繞y軸或x=a旋轉時,用圓盤法

因為乙個柱殼的體積就是周長乘以高度乘以厚度,周長為2πr,高度為|f(x)|,厚度為dx。

例如,求y=x^2-2x,x=1,x=3,x軸圍成的圖形繞y軸旋轉得到的體積。此時x=r

在這種情況下,只需要分別求f大於0和小於0的部分的體積,相加即可,不會出現上面那種一部分減去另一部分的情況

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