出於某種內驅的需要，我們定義單位矩陣
\begin 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end的行列式為1。各位親愛的讀者，如果你們在xy座標系中畫出（1，0）和（0，1）這兩個向量，然後分別平移之，你們會發現這4條線段剛好組成1個面積為1的正方形。現在，讓我們把第乙個向量（1，0）變成（1，1），像下面
1 0 a b
1 1 c d
各位親愛的讀者，你們想想，這兩個向量分別平移後形成的平行四邊形的面積又是多少呢？你們可能會去作圖，然後作垂直線。現在我們有了2階行列式的行列式公式
ad-bc
所以我們可以很容易算出新的面積：1x1-0x1=1
面積解決了，那體積呢？
和之前一樣，我們可以定義\begin 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 &1 \\ \end的行列式為1——即體積為1。
看到這裡，相信聰明的讀者已經發現了——在單位矩陣中，行列式的值似乎等於"\"對角線元素的乘積。事實是否這樣呢？為此，我將給出下面三個不容反駁和質疑的定義。
定義二：交換矩陣的兩行，行列式的值將取反。
這即是說，如果我們把
1 0 0 1
0 1 交換為 1 0 ，行列式的值將變為-1。
這個定義的用處是，如果我們在任意大的乙個矩陣中發現有兩行相等，則這個矩陣的行列式的值為0。why?
because 假設矩陣行列式的值為a,交換這相等的兩行後，矩陣行列式的值仍為a，but according to 定義二，a should be to -a,
什麼樣的數字的負值等於其本身呢？只有0 —— 0=-0。
定義三a+x b+y 行列式的值 = a b 行列式的值 + x y 行列式的值
c d c d c d
attention:這個x和y加在任意一行都是可以的。
這是因為，根據公式，原矩陣行列式的值 = (a+t)d - (b+t)c
= ad-bc + td-tc
定義四at bt 行列式的值 = t * a b
c d c d
現在，我們如何求
\begin 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9 \\ \end一臉懵逼？哈哈哈。
親愛的讀者，在上面所有關於行列式的定義中，還記得定義一嗎？我們說，單位矩陣的行列式為1。而所謂的單位矩陣，指的是除了"\"這條線上的元素，其餘元素皆為0，並且"\"這條線上的元素全部為1的矩陣。
在上面的矩陣中，如果我們只保留"\"上的元素，像下面
\begin 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 9 \\ \end你們是不是迫不及待的要告訴我這個矩陣的行列式為 1*5*9=45 了！
答案是正確的，因為根據定義4，我們可以把5和9看成5x1和9x1,把5和9分別提出，又根據定義一單位矩陣的值為1，perfect!
所以，現在我們的目標是如何把原矩陣 \begin 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9 \\ \end1，5，9下面的4，7，8化為0。
要讓4為0，我們只需第二行（4，5，6）減去4倍第一行（1，2，3）就好了，並且不會影響到行列式的值。這是因為，根據定義三和定義四，
1 2 3 1 2 3 1 2 3 又根據定義二我們知道， 1 2 3
4-4*1 5-4*2 6-4*3 = 4 5 6 - 4* 1 2 3 有兩行相等的矩陣行列 1 2 3
7 8 9 7 8 9 7 8 9 式的值為0，所以 7 8 9 為0！
因此，我們可以把原矩陣化簡為
\begin 1 & 2 & 3 \\ 0& -3& -6 \\7 & 8 & 9 \\ \end接著再用（7，8，9）減去7倍（1，2，3），這樣7又會變為0，用同樣的方法，我們發現無法把（1，5，9）上面的（2，3，6）化為0——當且僅當這個矩陣是奇異矩陣！換言之，當我們把"\"下面的所有元素都化為0後，發現有任意"\"上的元素為0，則行列式為0，例如 \begin 1 & 2 & 9\\ 0& 0& 6 \\0 & 0 &3 \\ \end只要（0，0，6）減去2倍（0，0，3)，（0，0，6）就會變成（0，0，0)，事實上，無論這兩個數字是3和6或 其它的，我們總能找到它們的最大公約數，使其中一行全為0，恰巧的是，0又可以看成0*0，根據定義4，我們可以把0提取出來，於是矩陣的行列式為0！
just keep on! 相信你們會得出答案的！——答案是0！what's it mean?這意味著由這三個向量組成的只是乙個平面！意味其中任意乙個向量在其它兩個向量所組成的平面上！因為
1 3 2
4 + 6 = 2倍 4 ！
7 9 8
好了，下面終於要開始進入正題了！
一開始就提到，二階矩陣
\begin a & b \\ c& d\\ \end的行列式公式是ad-bc,在此，我希望你們深刻認識到乙個道理：任何的數學公式，都是從最基本的公理或者定義推出來的！下面，我將給大家證明這個公式。
首先，根據定義三，
a b a+0 0+b a 0 0 b a 0 a 0 0 b 0 b
c d 可以看成 c d = c d + c d = c 0 + 0 d + c 0 + 0 d ,
其中 a 0 和 0 b 的值都為0，剩下 a 0 和 0 b
c 0 0 d 0 d c 0,
前者的行列式的值為ad,後者根據定義2交換兩行，因此為-bc,加起來為ad-bc，至此得證。
我的目標，是給出求任意矩陣的公式，但，在此之前，讓我們先看下三階矩陣的情況\begin a & b & c\\ d& e& f\\g & h & i \\ \end經過前面的一番鋪墊後，你們也不知道接下來要怎麼做。。。
讓我們先把[a b c]單獨拿出來，轉換為[a+0+0 0+b+0 0+0+c] ！！！然後再次根據定義三，原矩陣就就可以拆解為下面三個矩陣之和
a 0 0 0 b 0 0 0 c
d e f + d e f + d e f
g h i g h i g h i
要求行列式，我們希望除了"\"上的元素外，其它的地方0越多越好！
因為，只要出現一行或者一列的元素全為0，我們就不用再次理會其它的元素了！
keep on !保持 [a 0 0] 不變， 我們可以得到 \begin a & 0 & 0\\ d& 0& 0\\g & h & i \\ \end再次保持[d 0 0]不變，我們又可以得到\begin a & 0 & 0\\ d& 0& 0\\g & 0 & 0 \\ \end顯然，這個矩陣行列式的值為0！事實上，在由[a 0 0] 組成的九個矩陣中，只有2個的行列式是不為0的！分別是
a 0 0 a 0 0
0 e 0 和 0 0 f
0 0 i 0 h 0
對於第二個矩陣，交換第二和第三行，因此可得aei-afh。
用同樣的方法，我們可以求出[ 0 b 0]和[0 0 c] 。
謝謝閱讀。
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