動態規劃入門

1、劃分階段

2、確定狀態和狀態變數

3、確定決策並寫出狀態轉移方程

4、尋找邊界條件

5、設計並實現程式

如題目的問法一般是三種方式：

1.求最大值/最小值

2.求可不可行

3.求方案總數

如果乙個問題是讓求出所有的方案和結果，則肯定不是使用動態規劃

動態規劃與分治法類似，都是把大問題拆分成小問題，通過尋找大問題與小問題的遞推關係，解決乙個個小問題，最終達到解決原問題的效果。但不同的是，分治法在子問題和子子問題等上被重複計算了很多次，而動態規劃則具有記憶性，通過填寫表把所有已經解決的子問題答案紀錄下來，在新問題裡需要用到的子問題可以直接提取，避免了重複計算，從而節約了時間，所以在問題滿足最優性原理之後，用動態規劃解決問題的核心就在於填表，表填寫完畢，最優解也就找到。

f[i][j]表示目前考慮到了第i個數，子串行中最後乙個數是j的最長上公升序列長度，考慮f(i)是否比f(i-1)大

1、階段：i

2、狀態：j

3、決策：選還是不選

4、策略：上公升的

5、狀態轉移方程

例如：listx = [1,5,3,4,8]

step1、設計狀態

記以f(x)為以listx結尾的最長子序列長度，最長子序列長度就是max(f(x))。

如：f(1) = 1

f(2) = 2

f(3) = 2

f(4) = 3

f(5) = 4

step2、如何推導f(x)

考慮每乙個比x小的p，如果x>p，那麼f(x) = f§ + 1，找到其中最大的（例如8，比1、5、3、4都大，不能比較1個，要所有的都比較一下，）

f(1) = 1

f(2) = 2 = max(f(1)+1，f(2)=1)

f(3) = 2 = max(f(1)+1, f(3)>f(2)不比較，f(3)=1)

f(4) = 3 = max(f(1)+1, f(2)不比較，f(3)+1， f(4)=1)

f(5) = 4 = max(f(1)+1, f(2)+1，f(3)+1，f(4)+1)

step3、狀態轉移方程

f(x)=max(f§)+1;條件：p最優子結構：

大問題可以由小問題推出來，大問題與小問題求解思路一致。

子問題的區域性最優解會形成整個問題的全域性最優解。

無後效性原則：

一旦f(n)確定，後續我們直接呼叫它的值就可以，而不用關心它是怎麼過來的。

如：求f(5)的時候，我只是直接去f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，不用計算如何來的，之前已經計算過了。

正推：從初始狀態開始，通過對中間階段的決策的選擇，達到結束的狀態。也稱為遞推。

倒推：從結束狀態開始，通過中間階段的決策的選擇，達到開始狀態。也稱為記憶化搜尋。

nums =[1
,5,3
,4,8
]dp =[1
]*len(nums)
for i in
range
(len
(nums)):
for j in
range
(i):
if nums[i]
> nums[j]
: dp[i]
=max
(dp[j]+1
,dp[i]
)print
(max
(dp)
)

問題描述：

有n 個物品，它們有各自的重量和價值，現有給定容量的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？

i 1 2 3 4

w 2 3 4 5

v 3 4 5 6

過程

step1、把揹包問題抽象化

xi 取0或1，表示第 i 個物品選或不選

vi表示第 i 個物品的價值，

wi表示第 i 個物品的體積（重量）；

step2、建立模型，即求max(v1x1+v2x2+…+vnxn)；

step3、約束條件，w1x1+w2x2+…+wnxnjj>=w(i) v(i,j)=max｛ v(i-1,j)，v(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

def
bag(number, capacity,w, v)
: dp =[[
0for _ in
range
(capacity+1)
]for _ in
range
(number+1)
]for i in
range(1
,number+1)
:# 遍歷每乙個物品
for j in
range(1
,capacity+1)
:# 遍歷包的容量
if j < w[i]
:# 說明裝不下
dp[i]
[j]= dp[i-1]
[j]# 等於上乙個物品
else
: dp[i]
[j]=
max(dp[i-1]
[j], dp[i-1]
[j-w[i]
]+ v[i]
)# dp[i-1][j-w[i]]是前i-1個物品的最優解
return dp[-1
][-1
]number =
4capacity =8w=
[0,2
,3,4
,5]# 如果不從0開始，迴圈的時候，i和j就需要v=[
0,3,
4,5,
6]res = bag(number, capacity,w, v)
print
(res)

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