動態規劃入門

學動態規劃自然要從數字三角形開始起步，那麼我們就先從數字三角形開始。

數字三角形題目

：有乙個由非負整數組成的三角形，第一行只有乙個數，除了最下行之外的每個數的左下方和右下方各有乙個數，如下圖所示：

32410143

220從第一行的數開始，每次可以往下或往右下走一格，直到走到最下行，把沿途經過的數全部加起來。如何走才能使這個和最大？

知道回溯法麼（請參看：八皇后與回溯法

），你會發現這是乙個動態的決策問題：每次有兩種選擇——向左或是向右，每一步決策又影響到後面的決策，如果用貪心，你會發現由區域性最優解得不到全域性最優解，所以本題要麼用回溯法（但是回溯法的效率太低，特別是基數大的時候，讓人無法忍受），要麼就是用動態規劃。

我們用d（i，j）表示從格仔（i，j）出發到達底層能取得的最大和，用a（i，j）表示當前格仔的權值，從格仔（i，j）出發有兩種決策，如果往左走，則到（i+1，j）後需要求從（i+1，j）往後走能得到的最大和，即d（i+1，j）；如果往右走，則需要求從d（i+1，j+1）開始出發能取得的最大和，即d（i+1，j+1）。由於可以在這兩個決策中自由選擇，所以應該選擇d（i+1，j）和d（i+1，j+1）中較大的乙個。至此，我們得出了動態規劃解題中最重要的狀態轉移方程：

d（i，j）=a（i，j）+ max（d（i+1，j），d（i+1，j+1））

如果往左走，那麼最好的情況等於（i，j）格仔裡的值a（i，j）與d（i+1，j）之和，如果從格仔（i+1，j）出發到底層這部分的和都不是左右決策中最大的，那麼加上a（i，j）之後的值也不會是最大的。這個性質稱之為最優子結構，也可以描述成「全域性最優解包含區域性最優解」。

那麼我們看第一種方法（遞迴法）

[cpp]view plain

copy

?#include

#define maxn 100

using

namespace

std;

inta[maxn][maxn],n;

intd(

inti,

intj)

intmain()

#include

#define maxn 100

using namespace std;

int a[maxn][maxn],n;

int d(int i,int j)

int main()

#include

#define maxn 100

using namespace std;

int a[maxn][maxn],d[maxn][maxn];

int main()

} intmain()

#include

#define maxn 100

using namespace std;

int a[maxn][maxn],d[maxn][maxn],n;

int memy(int i,int j)

}int main()

cout

}

#include

#define maxn 110

using namespace std;

int main()

cout把程式和圖結合起來看，01揹包問題就會十分簡單易懂，什麼描述都不如一張圖來得爽快直接。

我們還可以邊讀入資料邊計算，而不必把v和w儲存下來，只需要改動乙個地方即可。

[cpp]view plain

copy

?#include

#define maxn 110

using

namespace

std;

intmain()

} cout

}

#include

#define maxn 110

using namespace std;

int main()

}cout<

如果繼續優化空間，我們可以用一維陣列來儲存計算資訊。

[cpp]view plain

copy

?#include

#define maxn 110

using

namespace

std;

intmain()

} cout

}

#include

#define maxn 110

using namespace std;

int main()

}cout<

本文部分地方引用了《揹包九講》、《演算法競賽入門經典》。

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