背景介紹
設x和y都是n位二進位制整數，現在需要計算它們的乘積xy，如果使用小學的思路設計演算法，那麼需要n2次乘法和n-1次加法，效率太低，那麼能夠設計出一種演算法能夠提高效率？
方案一將n位二進位制整數x和y都分為兩段，每段的長度為n/2，如下圖所示
此時，x=a
2n/2
+bx=a2^+b
x=a2n/
2+b，y=c
2n/2
+dy=c2^+d
y=c2n/
2+d，xy的乘積就為：
x y=
(a2n
/2+b
)(c2
n/2+
d)=a
c2n+
(ad+
bc)2
n/2+
bdxy=(a2^+b)(c2^+d)=ac2^n+(ad+bc)2^+bd
xy=(a2
n/2+
b)(c
2n/2
+d)=
ac2n
+(ad
+bc)
2n/2
+bd，共需要4次2n/2位的乘法，3次長度不超過2n的加法，以及兩次移位操作，所以可以得出對應遞迴方程如下：
t (n
)=o(1)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ 4t(n/2)+o(n)\quad\quad \end
t(n)
=)^+c_ko(n)\\ =(2^)^+c_ko(n)\\ =o(n^)+c_ko(n)\\ =o(n^)\\ =o(n^2)
t(n)=4
kt(n
/2k)
+ck
o(n)
=4kt
(1)+
cko
(n)=
(2lo
g24
)log
2n+
cko
(n)=
(2lo
g2n
)log
24+
cko
(n)=
o(nl
og2
4)+c
ko(
n)=o
(nlo
g24
)=o(
n2)注：這裡係數是4，求完相應對數後，結果為2，寫的麻煩是為了當係數為3時，同學們也能理解清楚計算的過程。
方案二x y=
ac2n
+((a
−b)(
d−c)
+ac+
bd)2
n/2+
bdxy=ac2^n+((a-b)(d-c)+ac+bd)2^+bd
xy=ac2
n+((
a−b)
(d−c
)+ac
+bd)
2n/2
+bd，看上去算式更複雜，但僅需3次n/2位整數的乘法，6次加、減法和2次移位。於是可得出遞迴方程如下：
t (n
)=o(1)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ 3t(n/2)+o(n)\quad\quad \end
t(n)
=)=o(n^)
t(n)=o
(nlo
g23
)=o(
n1.5
9)，相較於之前的，算是較大的乙個改進。
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