本科學的電子資訊工程，用的最多的就是傅利葉變換。但大多數 ee 的學生只是會套用傅利葉變換的公式而已，對其數學本質卻了解得比較少。我不敢說掌握了數學本質，只能說從某個角度有了一些理解。
本文分為五部分。第一部分介紹一些基本的數學概念，第二部分介紹傅利葉基和傅利葉級數，第三部分介紹傅利葉變換，第四部分回歸 ee 的內容，第五部分總結。
1.域域是代數中乙個非常重要的概念，是一種特殊的環(交換除環)。介紹域是為介紹線性空間做準備，而域的準確概念在本文中並不重要。因此為了方便，大家可以把域理解為乙個可以做加減乘除的集合。也就是說，域由乙個集合和四則運算構成，這個集合內的元素兩兩間可以做這四種運算(除了除以 0)，結果依然在這個集合裡。
常見的域有有理數域q、實數域r和複數域c ，它們分別是全體有理數、實數、複數關於數的加減乘除構成的。
2.線性空間
線性空間的概念是建立在域的基礎上的。假設f是乙個域，而v是乙個集合。如果v內的元素之間可以做加法(也就是說兩個元素做加法的結果仍然在集合內)，v和f可以做數乘(和域內的乘法不同，數乘是說v中的乙個元素和f中的乙個元素做數乘結果仍在v內。數乘可以理解為乙個二元函式，它把f內的乙個元素和v內的乙個元素對映到v內的乙個元素)，這個v就叫做域f上的乙個線性空間。(v中的元素可以稱為向量)
當然了，上邊所說的加法和乘法還要滿足幾個性質，比如加法要構成阿貝爾群等等。但為了方便，這裡不詳細說明，只是舉幾個線性空間的例子。
比如對而定義在閉區間[a,b]上的連續函式也構成乙個r上的線性空間。因為任意兩個連續函式的和仍然是原來區間上的連續函式，乙個連續函式乘乙個實數也是連續函式。
下面將介紹線性空間有關的一些概念，先介紹線性組合。
3.線性組合
我們知道線性空間內的元素可以做加法，線性空間中的元素可以和域上的元素做數乘。因此我們取v中的一些向量
上式的這樣，給定一些v中的向量，就可以通過它們的線性組合得到更多向量。而我們比較關心能不能得到 0 向量(0 向量是每個線性空間中唯一滿足下列條件的乙個元素：對任意元素
如果可以為 0 ，我們就稱這些向量線性相關，反之稱為線性無關。我們更關心線性無關的情況，它是我們介紹基和維數必不可少的。
4.基與維數
我們在v中找到了一些線性無關的向量，這些向量可以通過線性組合構成無數其他向量。細心的你可能已經發現了：這些向量的所有線性組合構成的向量就構成了乙個線性空間。這個空間中的元素一定屬於v，因此它叫做v的乙個子空間。
如果構成的線性空間恰好是v，我們稱這些向量是v的一組基，而向量的個數叫做v的維數。如果v中有無限多個線性無關的向量，它就是無限維的。
在這裡我們不加證明地給出：任何非零線性空間均有基。
5.內積
之前我們介紹線性空間包括了兩種運算：第一種是空間內向量的加法，第二種是空間內向量與域中元素的數乘。而內積則是空間內兩向量的運算，或者我們可以理解為把空間中兩個元素對映為域中乙個元素的乙個二元函式。我們規定這個函式應該滿足一些性質。
首先我們規定，內積是雙線性的。在介紹雙線性之前，我們先講講線性。線性就是說乙個一元函式把線性組合對映為線性組合，即
而雙線性是針對二元函式的，它是說固定其中任何乙個變數後，這個一元函式都是線性的。
除了雙線性，內積還必須是正定的。即乙個向量和它自己的內積必須是非負的，而非零向量和它自己的內積必須是正的。
容易驗證，對於歐式空間中的向量點乘是滿足這個性質的。而我們前邊提到的閉區間上的連續函式，可以定義其內積為
最後，我們定義兩個向量正交是指它們的內積為零。
6.賦範線性空間
我估計很多人能看到這已經準備選擇狗帶了，但是我還是要講。
我保證這是最後乙個概念了……而且我盡量簡單粗暴。
首先我們介紹乙個概念：範數。對於r上的線性空間，我們定義它的範數為
r上的線性空間如果構造了這樣的範數，就稱它為賦範線性空間。
我不知道有多少人有耐心讀到這，如果上邊的內容有疑問可以去看任何一本高等代數教材，各種概念並不需要理解得很具體，建議理解得不透徹的讀者利用歐式空間進行模擬。下邊將開始介紹傅利葉基和傅利葉級數。
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