通俗地說，張量在數學上理解為多重線性函式，在物理上可以理解為在不同座標系（參考係）下有不同表示的量。
對偶空間：設
對偶空間。
也就是說，對於線性變換
求和約定：
代表 ，即上下同時出現乙個指標表示對其求和。
對於向量來講，有線性變換
也就是
或者 (後文討論區別)。
雙線性型：雙重線性函式
對 和
都保持線性，即：
其中 是向量，
是實數。多重線性函式以此類推。
張量積：最簡單的想法是
，即結果是乙個分塊矩陣
。下面進入正題。
實際上，雙線性型定義出了一種積，這種積是對參與運算的元素分別進行線性變換，使得它們成為同乙個向量後，再進行運算。就拿二元情況來說，有
，則 有：
對於二次型來講：
其中 我們把中間起作用的矩陣叫做張量，它的基底是
，它是乙個
階方陣。並且我們把
看作乙個一維張量（向量）的話，就把
稱為反變張量，把
稱作協變張量。n階張量實際上可以找出
個反變基，
個協變基，於是把這個張量稱作
階反變
階協變的張量（或者
權逆變
權協變
秩張量）。
所謂協變是指與變換
一致。反變（逆變）是指與變換
一致。如果是學習過場論的同學，就會知道雙線性型最中間的
其實就是
度規張量。
比方說對於歐幾里得空間，有度規
，意思是：
如果在這個空間中有乙個
，那麼
有長度的平方：
。所以物理上，度規張量意味著如何測量空間中的「距離」。
張量的運算遵循著：
，其中
都是矩陣元素符號。
而張量的縮並運算是指對張量
進行以下運算：令
，有 。三元情況為
。所以對
秩張量來說，進行縮並運算會得到乙個
秩的張量。而對於
階張量來說，縮並就是求跡(trace)，得到的是各個特徵值的和，所以縮並的物理意義在於：得到座標系變換下的不變數。
例如：
其中 代表對某張量進行縮並運算，實際上就是將參與張量積的兩個向量分別轉置後求積。
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