知道了「積分和微分是互逆運算」能給我們帶來什麼呢？答案是：多一種選擇。因為既然積分和微分是互逆運算，那麼有些操作如果積分不擅長，我就可以把它丟給微分。
什麼意思？還是以最開始求曲線圍成的面積為例。我們是這樣求拋物線y=x²與x軸在0到1之間圍成面積的：如果用n個矩形去逼近，每個矩形的底就是1/n，n個矩形的面積之和就是這樣：
當n趨向於無窮大的時候，後面兩項就等於無窮小，然後結果就只剩下第一項1/3。
用這種方法，面對不同的曲線就得有不同的求和公式，最後還得保證相關項可以變成無窮小丟掉。所以，這種方法的複雜度和侷限性都非常大，無法推廣。
但是，在偉大的牛頓和萊布尼茨發現了「積分和微分是互逆運算」之後，這一切就改變了。因為我們有另一種選擇：積分之路如果不好走，我們可以走微分啊。
怎麼走呢？前面講微分的時候，我們計算過f(x)=x²的導數，最終的結果是這樣的：
那麼反過來，如果我知道有乙個函式是f(x)=2x，難道我就猜不出究竟是哪個函式求導之後變成了f(x)=2x麼？當然可以啊，我們完全可以根據f(x)=2x反推出原來的函式是f(x)=x²+c。
為什麼這裡多了乙個常數c？因為常數求導的結果都是0，所以就多了這樣乙個尾巴。
也就是說，f(x)=x²，f(x)=x²+1，f(x)=x²+3等函式的導數都是f(x)=2x，只憑f(x)=2x我們無法確定最開始函式具體是什麼樣子。但是，我們可以確定它一定就是x²加上乙個常數c。於是，我們就把求導之前原來的函式f(x)=x²+c稱為的f(x)=2x的原函式。
好，下面是關鍵：積分是函式圍成面積的過程，速度v通過積分就得到了位移s，在v-t影象裡速度v圍成的面積就是位移s；微分是求導的過程，對位移s求一次導數就能夠得到速度v。
有了原函式以後，我們也可以根據速度v把(求導之後等於速度v的)位移s給求出來，這時候位移s就是速度v的原函式(無非就是再加乙個常數c)。而原函式表示的位移s就是速度v圍成的面積，於是，原函式就有了求面積(積分)的效果。
也就是說，s求導一次就變成了v，那麼v反向求導一次就可以得到s，這時候s是v的原函式。另一方面，因為s求導一次能變成了v，那麼v積分一次也能變成了s(互逆運算)。於是，v通過求原函式和積分都能得到s，所以原函式s其實就有了積分(曲線v圍成面積)的效果。
再簡單地說，因為積分和微分是一對互逆運算，所以你反向微分(求原函式)的話，自然就「負負得正」，得到和積分一樣的效果了。
所以，現在求曲線f(x)=x²和x軸在0到1區間裡圍成面積這個原本屬於積分的事情，現在就可以通過反向微分(求原函式)來實現。
這是一次非常華麗的轉變，馬上你就會看到這種新方法會把問題簡化到什麼程度，而且，正是這種力量讓數學發生了根本性的改變。
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