初學極限運算的時候初學者總會犯一些問題，尤其當課程進度推進時，各種知識、方法不斷出現，這時如果掌握不牢固就很容易把自己弄暈。其實要掌握這些運算方法並不困難，記住這個要領：各種運算法則的使用前提是每個步驟中涉及的極限一定都要存在是這些運算的前提（如果有分母，那麼分母一定不能為零）。（無限個極限的情形單獨討論）
如果 (1)
(2)
(3) 若又有
, 則
注：（1）和差取大： 若1、只要是有限個極限進行計算都可以直接使用四則運算法則
2、常數直接參與所有四則運算（作為分母時不能為0）
3、上述結論對數列仍然成立
, 則
（2）因式替換：若
且 極限存在或有界
（2）若
, 則
(兩個極限各自都要存在)
（3）和差替換:
結論：且
特別注意：
時此結論未必成立！！！！
後面無窮小部分詳細解釋(1) 當
時: (2) 在點
的某去 心鄰域內
及 都存在且
(3)
存在(或為無窮大) 則
特別注意：上述的(1),(2),(3)必須全部同時滿足！
問題：這個極限怎麼算啊？無窮小相除等於多少？
錯誤分析：這道題是典型的分母為0的情形，正確的做法是先化簡，再求極限。
正解：
問題：這種無窮大的極限怎麼算啊？無窮大乘無窮大等於多少啊？無窮大減無窮大還是無窮大麼？
錯誤分析：上述極限中四則運算的前提不滿足，最後乙個等號前每一項都是無窮大。正確的做法是先通分，再變換為滿足四則運算的形式進行計算。
正解：
問題：
怎麼又來了？這個怎麼求啊？。。。。
錯誤分析：上例是最常出錯的一種型別。回到替換法則部分不難看到在無窮小
替換時必須要特別注意
的情況。
其根本原因在於：無窮小的減法有可能改變無窮小的階數。比如：考慮
時的兩個無窮小：
和 。此時它們相減變成：
注意到原來的兩個無窮小都是
，而現在它們的商變成了
。而在本例中，更為特殊的情況出現了,
將原本低階的無窮小變成了高階。
正解：
由此可見
。
本例還可以用taylor公式來進行解釋：問題：這個怎麼和答案不對啊？。。。考慮兩個函式的taylor展開：
因此：
對本例，其實還可以再簡化成：
因此：
錯誤分析：洛必達法則使用的前提是，極限式必須是不定型！也就是說，必須是以下幾類的其中一種：
無窮大相關：仔細觀察不難發現，原極限式中函式分子分母的極限都是存在的，因此直接計算即可。零、零與無窮大混合：
正解：
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