使用Python玩轉高等數學 2 冪函式

冪函式的公式如下：

y = x^a

a是實數，函式的定義域要看a的取值而定。當a取任何實數時，函式在(0,+∞)區間內總有定義；當a>0時，函式在[0,+∞)區間內總有定義。

y = x，y=x^2，y=x^3，y=x^1/2，y=x^-1是最常見的冪函式，下面分別**它們的影象和性質。

繪製函式影象要使用sympy庫，sympy庫是乙個計算機代數系統，它支援符號計算、高精度計算、模式匹配、繪圖、解方程、微積分、組合數學、離散數學、幾何學、概率與統計等方面的功能。

在使用之前需要安裝sympy庫，最簡單的安裝方法就是在shell視窗執行pip3 install sympy命令。

例1  y = x的影象和性質

繪製y = x函式影象：

# 匯入sympy庫from sympy import symbols,sin,plot# 定義冪函式def func(x,y):return x**y# 定義數學符號x,yx=symbols('x')y=symbols('y')# 生成y=x函式公式f1=func(x,1)# 繪製圖形plot(f1,(x,-10,10))

函式func用來描述冪函式公式，直接返回冪函式的公式。

plot是繪製圖形的函式，它可以傳入多個函式公式，(x,-10,10)是乙個元組，用於定義函式自變數的區間，這裡定義了變數x的區間為[10,10]。

繪製的y=x函式影象如下所示：

觀察y=x函式影象，該影象是一條過原點的直線，函式的定義域和值域均為全體實數，函式關於原點對稱，是奇函式，圖中直線呈上公升趨勢，函式單調增加。

例2  y=x^2的影象和性質

修改例1的程式**，將語句：

f1=func(x,1)

修改為：

f1=func(x,2)

執行程式，可得到y=x^2的函式影象。

觀察y=x^2函式影象，該影象的定義域是全體實數，值域是[0, +∞)。函式關於y軸對稱，是偶函式。函式在第二象限是單調遞減(-∞,0]，函式在第一象限是單調增加[0, +∞)。

例3  y=x^3的影象和性質

修改例1的程式**，將語句：

f1=func(x,1)

修改為：

f1=func(x,3)

執行程式，可得到y=x^3的函式影象。

觀察y=x^3函式影象，函式關於原點對稱，是奇函式，函式的定義域和值域都是全體實數，函式單調增加。

例4 y=x^1/2的影象和性質

修改例1的程式**，將語句：

f1=func(x,1)

修改為：

f1=func(x,1/2)

執行程式，可得到y=x^1/2的函式影象。

觀察y=x^1/2函式影象，函式的定義域和值域都為區間[0, +∞)，函式沒有對稱性，是非奇非偶函式，在區間[0, +∞)為單調增加。

例5 y=x^-1的影象和性質

繪製y=x^-1的影象，需要稍微修改例1的**，主要是修改繪圖x變數取值區間，因為y=x^-1函式不允許變數x為0。

# 匯入sympy庫from sympy import symbols,sin,plot# 定義冪函式def func(x,y):return x**y# 定義數學符號x,yx=symbols('x')y=symbols('y')# 生成y=x函式公式f1=func(x,-1)# 繪製圖形plot((f1,(x,0.1,10)),(f1,(x,-10,-0.1)))

觀察y=x^-1函式影象，函式影象分成兩部分，分別在第一象限和第三象限。函式的定義域為不能等於0的實數，值域為不能等於0的實數，函式關於原點對稱，是奇函式。函式在（-∞,0）和（0,+∞）上是遞減函式。

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