1.普通遞迴
這裡觀察f[4]的遞迴樹代替f[10]的遞迴樹（後者比較大，畫不下）。
使用遞迴求解的時候複雜度為t(n
)=t(
n−1)
+t(n
−2)t(n)=t(n-1)+t(n-2)
t(n)=t
(n−1
)+t(
n−2)
，觀察遞迴樹，發現降速最快的是最右邊每次減2，因此n
2\frac
2n層以上的部分肯定是滿二叉樹，因此時間複雜度肯定是ω(2
n2)\omega(2^})
ω(22n
)的，再加上其他節點，因此我們可以大概認為時間複雜度為o(2
n)o(2^n)
o(2n
)，空間複雜度為樹的深度為o(n
)o(n)
o(n)
實現**
ll fibo
(ll n)
通過改變函式的形式，能夠讓結果在最底層呼叫時直接返回。這樣我們就可以在每一層函式尾呼叫自身來實現尾遞迴。因為編譯器發現函式最後是尾呼叫（直接返回另乙個函式）的時候將不會儲存原函式的棧幀（因為已經執行結束），而是直接帶著上乙個棧幀的結果直接在原地進入下一棧幀。這樣就沒有遞迴呼叫時空間的額外消耗。
對於本問題，使用尾遞迴的話時間複雜度為o(n
)o(n)
o(n)
，空間複雜度為o(1
)o(1)
o(1)
ll fibo2
(ll n,ll x,ll y)
//y儲存當前項，呼叫時x=0，y=1，表示當前項為1
為了避免對已經計算過的值再次計算，我們用乙個陣列儲存已經計算過的值。這樣的時間複雜度將變為o(n
)o(n)
o(n)
，空間複雜度也為o(n
)o(n)
o(n)
ll work3
(ll n, ll* ans)
ll fibo3
(ll n)
斐波那契有遞推公式：fib
o[n]
=fib
o[n−
1]+f
ibo[
n−2]
fibo[n]=fibo[n-1]+fibo[n-2]
fibo[n
]=fi
bo[n
−1]+
fibo
[n−2
]，因此可以用遞推解決。如果記憶所有項的話，空間複雜度為o(n
)o(n)
o(n)
，如果不記憶的話空間複雜度為o(1
)o(1)
o(1)
。時間複雜度為o(n
)o(n)
o(n)
ll fibo4
(ll n)
#include
#include
#include
using
namespace std;
typedef
long
long ll;
typedef ll (
*fp)
(ll)
;ll fibo1
(ll n)
ll work2
(ll n,ll x=
0,ll y=1)
//y儲存當前項，呼叫時x=0，y=1，表示當前項為1
ll fibo2
(ll n)
ll work3
(ll n, ll* ans)
ll fibo3
(ll n)
ll fibo4
(ll n)
void
test
(ll n,fp fp)
cout<<
"方法"
<
1<<
"平均用時"
<
"s"<
intmain()
; ll n;
cout<<
"請輸入需要查詢斐波那契數列第幾項："
; cin>>n;
test
(n,fp)
;return0;
}
效能分析
可以看到後面幾種方法的複雜度相差不多，但是同樣是遞迴處理，尾遞迴比普通遞迴的複雜度明顯優秀很多，所以如果可以的話應該盡量將遞迴變成尾遞迴的方式進行處理。
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