目錄5. 乙個 - 的演算法
st 表：\(o(n\log n+q)\)
sqrt tree：\(o(n\log\log n+q)\)
線段樹 / zkw 線段樹：\(o(n + q\log n)\) .
貓樹：\(o(n\log n+q)\)
單調棧：\(o(q\log q+q\log n)\)
先分塊，假設塊長為 \(b\) .
預處理整塊的最小值，把每個整塊連起來然後開個 st 表，對每個零散塊也開 st 表
我們可以將詢問區間劃分為不超過 \(1\) 個整塊陣列上的連續塊區間和不超過 \(2\) 個原陣列上的整塊內的連續區間。顯然這些問題我們通過 st 表上的區間查詢解決。
取 \(b=\log n\)，預處理複雜度就是 \(o(n\log\log n)\) 的，常數較大 .
乙個小優化：我們發現，在詢問的兩個端點屬於不同的塊的時候，塊內的詢問是關於每一塊字首或者字尾的詢問，用 \(o(n)\) 預處理答案，這樣子我們只需要在詢問的時候進行至多一次 st 表上的查詢操作了 .
題目：由乃救爺爺分塊，設塊長為 \(b\)，當然先預處理每個整塊的最小值
若區間跨過了多個塊，那麼整塊可以 st 表處理，零散塊可以預處理每個塊內的字首字尾最小值處理 .
若區間左右端點正好在同乙個塊內，暴力掃，複雜度 \(o(b)\) 比較高，但注意到詢問區間隨機的情況下，不難得出兩個端點在同乙個塊內的概率是 \(\dfrac bn\) .
所以這種情況期望複雜度 \(o\left(\dfracn\right)\) .
當 \(b\) 至少為 \(o(\log n)\) 時，預處理整塊 st 表複雜度 \(o\left(\dfrac nb\log\dfrac nb\right)\) 不超過 \(o(n)\) .
當 \(b\) 至多為 \(o(\sqrt n)\) 時，預處理整塊 st 表複雜度 \(o\left(q\dfrac bn\right)\) 不超過 \(o(q)\) .
所以 \(b\) 取 \(o(\log n)\) 到 \(o(\sqrt n)\) 之間的乙個值即可 .
當 \(b=\sqrt n\) 時，直接暴力預處理所有可能區間的最大值即可，複雜度不變，常數可能小一些 .
先 \(o(n)\) 建序列的笛卡爾樹，不難發現兩個點之間的最小值就是它們的 lca 的權值 .
使用基於 rmq 的樹上 lca 演算法，發現笛卡爾樹的尤拉序相鄰兩個節點深度差必然為 \(\pm 1\) .
我們假設我們在 word-ram model 中 .
由於相鄰兩個元素之差為 \(1\)，那麼長度為 \(n\) 的本質不同的序列只有 \(2^n\) 個 .
考慮將序列按照 \(\dfrac12\log n\) 分段，在 word-ram model 中，乙個常見的假設是字長 \(w\ge \log n\)，注意到長度為 \(\dfrac 12\log_2 n\) 的本質不同的數列只有 \(o(\sqrt n)\) 個，我們可以列舉所有可能的情況，並列舉左右端點，這可以在 \(o(\sqrt n\log^2 n)\) 的時間複雜度內完成 .
因為乙個數列長度為 \(n\) 的數列可以用二進位制串編碼（對於乙個序列 \(a\)，其二進位制串編碼的第 \(j\) 位為 \([a_j）
對於分成的 \(o\left(\dfrac\right)\) 段，使用 st 表維護 .
從而對於零散塊來說，查表即可得出答案，我們也就得到了 \(o(n)\) - \(o(1)\) 的求解一般 rmq 問題的解法
好像可以把塊內用線段樹維護，整塊用 st 表，或許會更快 .
對於每個塊維護乙個單調佇列，再把單調佇列狀壓 .
這份提交 好像是這種寫法
離線並查集是 \(o(n\alpha(n))\) 的，本質相似，實際跑起來會快一些 .
同 \(2\)，schieber vishkin algorithm 的描述可以在 這裡 找到
考慮左右端點在同一塊內的時候，把小塊當成乙個整序列，也是分塊，從而預處理時間 \(t(n)\) 滿足
\[t(n)=o(n)+\dfract(\log n)
\]不難發現，遞迴的深度是 \(o(\log^* n)\)
從而預處理時間複雜度 \(o(n\log ^* n)\)，詢問時間複雜度 \(o(\log^* n)\)
我們不妨假設每層大塊長都是 \(2\) 的冪，這樣分出來的小段長都是一樣的：\(\log n,\log\log n,\cdots,1\)
對於乙個詢問，若其區間長度是 \(l\)，我們找出第乙個小段長 \(\le l\) 的層，可以發現這個詢問一定可以在這一層或者上一層 \(o(1)\) 回答出來。這樣只要對每個詢問長度預處理找的層就可以做到 \(o(1)\) 詢問了 .
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