RSA演算法解析

2022-01-19 20:38:12 字數 4029 閱讀 5760

rsa是第乙個既能用於資料加密也能用於數字簽名的演算法。它易於理解和操作,也很流行。演算法的名字以發明者的名字命名:ron rivest, adi shamir 和leonard adleman。但rsa的安全性一直未能得到理論上的證明。它經歷了各種攻擊,至今未被完全攻破。

它是第乙個既能用於資料加密也能用於數字簽名的演算法。它易於理解和操作,也很流行。演算法的名字以發明者的名字命名:ron rivest, adi shamir 和leonard adleman。但rsa的安全性一直未能得到理論上的證明。它經歷了各種攻擊,至今未被完全攻破。 

一、rsa演算法 : 

首先, 找出三個數, p, q, r, 其中 p, q 是兩個相異的質數, r 是與 (p-1)(q-1) 互質的數…… p, q, r 這三個數便是 private key 

接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)….. 這個 m 一定存在, 因為 r 與 (p-1)(q-1) 互質, 用輾轉相除法就可以得到了….. 再來, 計算 n = pq……. m, n 這兩個數便是 public key 

編碼過程是, 若資料為 a, 將其看成是乙個大整數, 假設 a = n 的話, 就將 a 表成 s 進製 (s <= n, 通常取 s = 2^t), 則每一位數均小於 n, 然後分段編碼…… 接下來, 計算 b == a^m mod n, (0 <= b 

解碼的過程是, 計算 c == b^r mod pq (0 <= c 

如果第三者進行竊聽時, 他會得到幾個數: m, n(=pq), b…… 他如果要解碼的話, 必須想辦法得到 r……所以, 他必須先對 n 作質因數分解……… 要防止他分解, 最有效的方法是找兩個非常的大質數 p, q, 使第三者作因數分解時發生困難……… 

《定理》 

若 p, q 是相異質數, rm == 1 mod (p-1)(q-1), a 是任意乙個正整數, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq, 則 c == a mod pq 

證明的過程, 會用到費馬小定理, 敘述如下: 

m 是任一質數, n 是任一整數, 則 n^m == n mod m (換另一句話說, 如果 n 和 m 互質, 則 n^(m-1) == 1 mod m) 運用一些基本的群論的知識, 就可以很容易地證出費馬小定理的…….. 

《證明》 

因為 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整數 因為在 modulo 中是 preserve 乘法的 (x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z), 所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq 

1. 如果 a 不是 p 的倍數, 也不是 q 的倍數時, 

則 a^(p-1) == 1 mod p (費馬小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p 

a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 

所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1 

即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq 

=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq 

2. 如果 a 是 p 的倍數, 但不是 q 的倍數時, 

則 a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理) 

=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 

=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q 

=> q | c - a 

因 p | a 

=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p 

=> p | c - a 

所以, pq | c - a => c == a mod pq 

3. 如果 a 是 q 的倍數, 但不是 p 的倍數時, 證明同上 

4. 如果 a 同時是 p 和 q 的倍數時, 

則 pq | a 

=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq 

=> pq | c - a 

=> c == a mod pq 

q.e.d. 

這個定理說明 a 經過編碼為 b 再經過解碼為 c 時, a == c mod n (n = pq)…. 但我們在做編碼解碼時, 限制 0 <= a 

二、rsa 的安全性 

rsa的安全性依賴於大數分解,但是否等同於大數分解一直未能得到理論上的證明,因為沒有證明破解 rsa就一定需要作大數分解。假設存在一種無須分解大數的演算法,那它肯定可以修改成為大數分解演算法。目前, rsa 的一些變種演算法已被證明等價於大數分解。不管怎樣,分解n是最顯然的攻擊方法。現在,人們已能分解多個十進位制位的大素數。因此,模數n 必須選大一些,因具體適用情況而定。 

三、rsa的速度 

由於進行的都是大數計算,使得rsa最快的情況也比des慢上倍,無論是軟體還是硬體實現。速度一直是rsa的缺陷。一般來說只用於少量資料加密。 

四、rsa的選擇密文攻擊 

rsa在選擇密文攻擊面前很脆弱。一般攻擊者是將某一資訊作一下偽裝( blind),讓擁有私鑰的實體簽署。然後,經過計算就可得到它所想要的資訊。實際上,攻擊利用的都是同乙個弱點,即存在這樣乙個事實:乘冪保留了輸入的乘法結構: 

( xm )^d = x^d *m^d mod n 

前面已經提到,這個固有的問題來自於公鑰密碼系統的最有用的特徵–每個人都能使用公鑰。但從演算法上無法解決這一問題,主要措施有兩條:一條是採用好的公鑰協議,保證工作過程中實體不對其他實體任意產生的資訊解密,不對自己一無所知的資訊簽名;另一條是決不對陌生人送來的隨機文件簽名,簽名時首先使用one-way hashfunction 對文件作hash處理,或同時使用不同的簽名演算法。在中提到了幾種不同型別的攻擊方法。 

五、rsa的公共模數攻擊 

若系統中共有乙個模數,只是不同的人擁有不同的e和d,系統將是危險的。最普遍的情況是同一資訊用不同的公鑰加密,這些公鑰共模而且互質,那末該資訊無需私鑰就可得到恢復。設p為資訊明文,兩個加密金鑰為e1和e2,公共模數是n,則: 

c1 = p^e1 mod n 

c2 = p^e2 mod n 

密碼分析者知道n、e1、e2、c1和c2,就能得到p。 

因為e1和e2互質,故用euclidean演算法能找到r和s,滿足: 

r * e1 + s * e2 = 1 

假設r為負數,需再用euclidean演算法計算c1^(-1),則 

( c1^(-1) )^(-r) * c2^s = p mod n 

另外,還有其它幾種利用公共模數攻擊的方法。總之,如果知道給定模數的一對e和d,一是有利於攻擊者分解模數,一是有利於攻擊者計算出其它成對的e』和d』,而無需分解模數。解決辦法只有乙個,那就是不要共享模數n。 

rsa的小指數攻擊。 有一種提高 rsa速度的建議是使公鑰e取較小的值,這樣會使加密變得易於實現,速度有所提高。但這樣作是不安全的,對付辦法就是e和d都取較大的值。 

rsa演算法是第乙個能同時用於加密和數字簽名的演算法,也易於理解和操作。rsa是被研究得最廣泛的公鑰演算法,從提出到現在已近二十年,經歷了各種攻擊的考驗,逐漸為人們接受,普遍認為是目前最優秀的公鑰方案之一。rsa的安全性依賴於大數的因子分解,但並沒有從理論上證明破譯rsa的難度與大數分解難度等價。即rsa的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性能如何,而且密碼學界多數人士傾向於因子分解不是npc問題。 rsa的缺點主要有:a)產生金鑰很麻煩,受到素數產生技術的限制,因而難以做到一次一密。b)分組長度太大,為保證安全性,n 至少也要 600 bits 以上,使運算代價很高,尤其是速度較慢,較對稱密碼演算法慢幾個數量級;且隨著大數分解技術的發展,這個長度還在增加,不利於資料格式的標準化。目前,set( secure electronic transaction )協議中要求ca採用比特長的金鑰,其他實體使用位元的金鑰。

【掃瞄關注更多乾貨】

c 實現rsa演算法 RSA演算法實現過程

rsa演算法是實現非對稱加密的一種演算法,其用到很多有關數論的內容,在此我們不多討論。而將目光聚焦於演算法的實現過程。rsa過程 第二步 計算n a b 61 53 3233 第三步 計算 a 1 b 1 60 52 3120 第四步 選擇與3120互質的乙個數e 17,這個e也就是我們的公鑰,需要...

RSA演算法簡介

rsa演算法簡介 1 簡介 當前最著名 應用最廣泛的公鑰系統rsa是在1978年,由美國麻省理工學院 mit 的rivest shamir和adleman在題為 獲得數字簽名和公開鑰密碼系統的方法 的 中提出的。它是乙個基於數論的非對稱 公開鑰 密碼體制,是一種分組密碼體制。其名稱來自於三個發明者的...

RSA演算法簡介

rsa演算法是 r rirest asllalnlr和l adleman於1977年在美國麻省理工學院開發,於1978年首次公布,其演算法如下 a 選擇兩質數p q。b 計算n p q。c 計算n的尤拉函式 n p 1 q 1 d 選擇整數e,使e與 n 互質,且1 利用rsa加密,首先需將明文數位...