HAOI2011 防線修建

近來a國和b國的矛盾激化，為了預防不測，a國準備修建一條長長的防線，當然修建防線的話，肯定要把需要保護的城市修在防線內部了。可是a國上層現在還猶豫不決，到底該把哪些城市作為保護物件呢？又由於a國的經費有限，所以希望你能幫忙完成如下的乙個任務：

給出你所有的a國城市座標

a國上層經過討論，考慮到經濟問題，決定取消對i城市的保護，也就是說i城市不需要在防線內了

a國上層詢問對於剩下要保護的城市，修建防線的總經費最少是多少

你需要對每次詢問作出回答。注意單位1長度的防線花費為1。

a國的地形是這樣的，形如下圖，x軸是一條河流，相當於一條天然防線，不需要你再修建

a國總是有兩個城市在河邊，乙個點是(0,0)，乙個點是(n,0)，其餘所有點的橫座標均大於0小於n，縱座標均大於0。a國有乙個不在(0,0)和(n,0)的首都。(0,0),(n,0)和首都這三個城市是一定需要保護的。

資料範圍：

30%的資料m<=1000,q<=1000

100%的資料m<=100000,q<=200000,n>1

所有點的座標範圍均在10000以內, 資料保證沒有重點

要動態維護乙個凸包。還要維護刪除操作？

刪除麻煩，可以離線，把刪除變成插入操作。

一切就簡單又自然了。

插入乙個點t，就要找到凸包上的第乙個大於等於橫座標x的點p，和第乙個小於x的點q。即後繼前驅。

題目很善良，河邊點不會刪除，所以一定在凸包上，不會有什麼邊界的鍋。

如果在凸包裡面那麼就直接返回，怎麼判斷？

如果q和p的斜率在t和p的斜率，t和q的斜率大小之間的話，那麼這個點一定不在凸包上。畫圖可以理解。

反之就一定在凸包上。

然後開始彈出點。不斷向右比較斜率，再不斷向左比較斜率。

最後把t加入凸包。

刪除點的時候，實時更新防線的長度。

不要忘了最後把p、q之間的連邊刪除。

找前驅後繼再刪除，可以用splay實現。

但是沒有必要，set完全可以支援。

**：

#includeusing
namespace
std;
const
int n=100000+10
;const
double inf=19260817.0
;int
n,m;
intcx,cy,far;
double
now;
struct
queq[
2*n];
struct
po 
void
op()
}a[n];
bool
die[n];
sets;
set::iterator it1,it2,it3;
double
dis(po a,po b)
double slo(po a,po b)
return ((double)a.y-(double)b.y)/((double)a.x-(double
)b.x);
}void
upda(po lp)
now-=dis(*it1,*it2);
it3=it2;it3++;
while(it3!=s.end()&&slo(lp,*it2)<=slo(lp,*it3))
now+=dis(lp,*it2);
it3=it1;it3--;
while(it1!=s.begin()&&slo(lp,*it1)>=slo(lp,*it3))
now+=dis(lp,*it1);
s.insert(lp);
}int
main()
scanf("%d
",&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
po st;st.x=0,st.y=0
;s.insert(st);
po nd;nd.x=far,nd.y=0
;s.insert(nd);
po ca;ca.x=cx,ca.y=cy;s.insert(ca);
now=dis(st,ca)+dis(ca,nd);
for(int i=1;i<=n;i++)
}for(int i=m;i>=1;i--)
else
}for(int i=1;i<=m;i++)
}return0;
}

總結：現在我們有了一些斜率優化中，維護凸包的方法。

1.單調佇列，適用於斜率有單調性，並且x要有單調性。才可以直接隊頭彈出，隊尾插入。均攤o(1)

2.佇列+二分。對於加入點的x有單調性，但是查詢的斜率無單調性的時候，就要二分了。

二分到第乙個斜率大於/小於查詢斜率的點，作為決策點即可。除了隊尾加入的時候，為了維護凸包所需，不會從隊頭彈出點。】

3.set（平衡樹）維護。對於一般情況的凸包，可能加入的x在任何位置，查詢什麼凸包的周長，就必須用set了。

但是，對於斜率優化中，要查詢乙個第乙個和後繼/前驅比k大/小的點，因為set是按照x過載的運算子，不能直接lower_bound了。

所以，只能手寫一棵splay，（就我所知）別無他法。

具體來說，乙個splay樹上的節點，按照x排序，而且必須還要記錄和後繼的斜率slope，和子樹內所有後繼斜率slope的最小值，便於直接二分。

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