目錄對結構的探索—引
zkw 線段樹介紹
對結構的探索 —— 續
小結future
當然我不可能把所有知識**羅列， 希望我的文字會給你帶來一些啟發和消遣。
單單拿出樹狀陣列來說的話， 可以說它是乙個利用某些數列資訊的區間可並性， 平衡數列單點修改和字首查詢時間複雜度的資料結構， 乙個樹狀陣列維護乙個數列的資訊。
樹狀陣列的最重要的主體是數列下標（1~n）， 它就是整個結構。
將乙個數二進位制分解： \((a)_ = (b_1b_2\cdots b_k)_2\) ， 定義 \(lowbit[(b_1b_2\cdots b_k)_2]\) 就是乙個最大的 \(2^j\) 滿足 \(b_j=1, \quad \forall p\in[j+1,k], \quad b_p=0\)。
在樹狀陣列裡， 乙個下標 t 就代表原數列下標在 \([t-lowbit(t)+1, t]\) 之間所有數的資訊的並。
所以樹狀陣列的查詢操作就很好寫了， 不斷減 lowbit 不斷合併資訊就行了。
對於單點修改， 要找出原數列中乙個數能影響的樹狀陣列中的下標， 然後逐一修改。
對於數字 \(a\)、\(b\)， \(a \in [b-lowbit(b)+1, b]\)， 那麼首先 \(a\le b\)， 再次 \(b-lowbit(b)+1 \le a\)， 在 \(a\le b\) 的前提下， 後乙個條件要滿足， 首先必須 \(lowbit(b) \ge lowbit(a)\)， 再次， 從高位往低位比， b 比 a 高的第一位一定是 lowbit(b)。由此可以很輕鬆地證明樹狀陣列的修改演算法。
將問題化簡為 「尋找乙個最小的 x， 使得 sum[1,x] <= k」。
這個問題顯然是有單調性的， 就像 倍增lca求lca的過程 一樣求好了。
追究原理？挺簡單的， 很多演算法也有在用， 自己看一下吧。
主要用於防止超多 clear 暴斃， 增加了查詢修改的常數（只有一點點）但是使得 clear 複雜度變成 \(o(1)\)。
主要是給每個節點加乙個時間戳， 不符合當前時間就初始化節點。
if 語句的分支**造成的損失可以通過三目運算子規避。
只是想隨便 yy 以下，不知道有沒有用。
合併複雜度必然不低於 \(o(n)\)， 然而有 \(o(n)\) 建樹狀陣列的演算法……
完全不需要考慮怎麼合併嘛。
然而複雜度上界也是 \(o(n)\) 的， 完全沒必要思考嘛。
樸素的插入要 o(n log n)， 樹狀陣列只有 o(n) 個節點。
對於乙個包含了 [l,r] 區間的節點， 有 r-l+1 個節點的插入要經過它。
由於資訊的可並性， 可以直接這麼寫：
for(int i=1;i<=n;++i)
只靠 \(fa[x] = x + lowbit(x)\) 的話，這是乙個分形的， 怪異的結構。
把所有 fa 去掉， 發現是乙個優美的沒有右兒子的線段樹結構。
講稿《統計的力量——線段樹》 by zkw
一顆滿二叉樹， 根節點為 1， 對於節點 x， ls(x) = x<<1， rs(x) = x<<1|1。
把節點標號換成二進位制， 這顆滿二叉樹就是 01 trie， 二叉堆的經典寫法用這種結構， 線段樹的經典寫法也是用這種結構。（我超喜歡動態開點線段樹
zkw 線段樹就是利用這種滿二叉樹的性質， 提高尋找某段區間是有哪些區間並起來的效率的演算法。
預處理 可以用歸納法證明， 滿二叉樹的葉節點去掉 highbit， 就是對應的原數列中的下標。
樸素探索
對於乙個詢問 \([l,r]\)， 它一定可以被拼出來嘛？當然可以， 用葉節點……
那麼它的最簡拼接是什麼？
首先乙個節點的右子節點一定是奇數的， 左子節點一定是偶數的。
考慮先找出 l、r 所對應的葉子節點。
考慮縮小詢問區間， 若 l 為奇數， 那麼顯然這個 \(l\) 可以先加上， 然後縮小詢問區間；同樣的， 若 r 為偶數， 那麼這個 r 可以先加上， 然後縮小詢問區間。
推廣一下， 若 l 代表的節點（不一定是葉子節點）是奇數， 那麼把 l 先加上， 然後縮小詢問區間， 同樣的， 對 r 也有類似處理方法。
為什麼可以這樣做？ 因為此時 l（或 r） 所代表的節點一定是最簡拼接中的節點。
之後如何縮小詢問區間呢？若已經加上了， 則變成父節點的兄弟， 否則變成父節點。
什麼時候結束？等到 l>r 就行了。
題解：詢問區間改成開區間
如果把詢問的閉區間改成開區間， 然後按照閉區間的葉子節點不斷往上走， 可以發現每次停頓的兄弟節點就是要找的區間節點， 這個可以很輕鬆證明。
迭代停止的條件也將變成兩個節點變成兄弟節點
參考zkw 的講稿吧。
樹狀陣列結構的研究可以從滿二叉樹的性質入手。
教練，我想學 leafy tree
樹狀陣列簡單入門
樹狀陣列是乙個查詢和修改複雜度都為log n 的資料結構。主要用於查詢任意兩位之間的所有元素之和。但是每次只能修改乙個元素的值，不如線段樹的應用範圍廣，但是寫起來比線段樹簡單很多，空間複雜度也會低一點。可以用來解一些像求逆序數的題。上面這張圖就表示了樹狀陣列與原陣列的關係 c陣列完整的儲存了a的所有...
對樹狀陣列的 簡單 理解
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樹狀陣列簡單易懂的詳解
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