設$x,y$是$\mathbf$的子集合，$x_0\in x$是$x$的極限點，並設$y_0\in y$是$y$的極限點.設$f:x\to y$是函式，使得$f(x_0)=y_0$並且$f$在$x_0$處可微.假設$g:y\to\mathbf$是在$y_0$處可微的函式，那麼函式$g\circ f:x\to\mathbf$在$x_0$處可微，且
\begin
\label
(g\circ f)'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0)
\end
證明:\begin
\label
g(f(x_0))'=\lim_\frac
\end
令$f(x_0+\delta x)=f(x_0)+\varepsilon(\delta x)$.其中$\delta x\to 0$時，$\varepsilon(\delta x)\to 0$.則\ref變成
\begin
\label
\lim_\frac
\end
\ref可以變成
\begin
\label
\lim_\frac\frac
\end
但是\ref要成立，首先得保證$\varepsilon(\delta x)$不為0(否則分母沒意義).
當$f'(x_0)\neq 0$時，我們取足夠小的$|\delta x|>0$後，總可以使$\varepsilon(\delta x)$保持非負(根據這裡
)(為什麼?).因此在$f'(x_0)\neq 0$時，我們不必擔心當$\delta x\to 0$時，$\varepsilon(\delta x)$可能會等於零這個問題.
當$f'(x_0)=0$時，在$\delta x\to 0$的過程中，$\varepsilon(\delta x)$可能會等於零.這時，\ref不再成立.雖然\ref不再成立，但是\ref仍成立.當$\varepsilon(\delta x)=0$時，
\begin
\label
\lim_\frac=0
\end
而且$g'(x_0)f'(x_0)=0$.而且
\begin
\lim_\frac\frac=0
\end
綜上，鏈法則得證.
注1:另一種證明方法如下:我先給出函式 $g\circ f$ 在 $y_0$ 處可微,且導數為 $l$ 的充要條件:(newton 逼近)$f(x)-(f(x_0)+l(x-x_0)=o(|x-x_0|)$.其中 $\lim_\frac=0$.下面我們來證明
\begin
(g\circ f)(x)-(g\circ f(x_0)+g'(y_0)f'(x_0)(x-x_0)=o(|x-x_0|).
\end
由於 $f$ 在點 $x_0$ 處可微,因此
\begin
f'(x_0)(x-x_0)=f(x_0)-f(x)+o_1(|x-x_0|).
\end
於是我們只用證明
\begin
(g\circ f)(x)-(g\circ f(x_0)+g'(y_0)(f(x_0)-f(x)+o_1(|x-x_0|))=o(|x-x_0|).
\end
由於 $g$ 在 $y_0$ 處可微,因此易得
\begin
g'(y_0)(f(x_0)-f(x)+o_1(|x-x_0|))=g\circ f(x_)-g\circ f(x)+o_2(|x-x_0|).
\end
(為什麼?)於是我們只用證明
\begin
2(g\circ f)(x)-2(g\circ f)(x_)=o_2(|x-x_0|)+o(|x-x_0|)=o_3(|x-x_0|).
\end
命題得證(為何?).
注2:利用以上這個另一種方法可以證明多元微積分中的復合函式求導法則.
陶哲軒實分析定理17 3 8 二
我的目標是證明這個命題 設 e 是 mathbf n 的子集，f e to mathbf m 是函式，f 是 e 的子集合，且 x 0 是 f 的內點，如果在 f 上一切偏導數 frac 都存在，且在 x 0 處連續，則 f 在 x 0 處可微.下面，我先給出第一階段的成果.我還會寫第三篇博文，來徹...
陶哲軒實分析定理17 3 8 一
設 e 是 mathbf n 的子集，f e to mathbf m 是函式，f 是 e 的子集合，並且 x 0 是 f 的內點，如果在 f 上一切偏導數都存在並且在 x 0 處連續，那麼 f 在 x 0 處可微，而且線性變換由下式確定 begin label f x 0 v 1,cdots,v n...
陶哲軒實分析定理17 3 8 一
設 e 是 mathbf n 的子集，f e to mathbf m 是函式，f 是 e 的子集合，並且 x 0 是 f 的內點，如果在 f 上一切偏導數都存在並且在 x 0 處連續，那麼 f 在 x 0 處可微，而且線性變換由下式確定 begin label f x 0 v 1,cdots,v n...