陶哲軒實分析定理17 3 8 一

2022-02-10 17:53:48 字數 1378 閱讀 9582

設$e$是$\mathbf^n$的子集,$f:e\to\mathbf^m$是函式,$f$是$e$的子集合,並且$x_0$是$f$的內點,如果在$f$上一切偏導數都存在並且在$x_0$處連續,那麼$f$在$x_0$處可微,而且線性變換由下式確定:

\begin\label

f'(x_0)(v_1,\cdots,v_n)^t=v_1(\frac}(x_0))^t+\cdots+v_n(\frac(x_0))^t

\end

證明:根據《陶哲軒實分析》引理17.3.5,我們可得,

\begin

(\frac(x_0))^=f'(x_0)e_j^

\end

即,\begin\label

(\frac(x_0))^t=f'(x_0)\begin

0\\\vdots\\

1\\\vdots\\

0\\\end

\end(1位於第$j$行)

可見,\begin\label

f'(x_0)=\begin

*&\cdots& \frac(x_0)&\cdots&*\\

*&\cdots &\frac(x_0)&\cdots&*\\

\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\

*&\cdots&\frac(x_0)&\cdots&*\\

\end

\end

其中,矩陣$f'(x_0)$的第$j(1\leq j\leq n)$列為

\begin

\begin

\frac(x_0)\\

\vdots\\

\frac(x_0)\\

\end

\end

這樣,$f'(x)$的矩陣就已經確定下來了,一切都ok了,等式\ref的成立就是顯然的了.

但是,上面的證明還有乙個很大的缺陷.這個缺陷就是:陶哲軒實分析引理17.3.5 中方向導數與全導數的關係成立的前提是全導數存在.而在此題中,全導數的存在性我們還沒有證明.也就是說,上面那個證明的實質,就是在還沒有證明全導數存在性的時候,就給出了全導數的矩陣.而全導數很可能是不存在的.這就是上面那個證明的缺陷所在.事實上,上面那個有缺陷(不能說是錯)的證明,沒有用到題目中的乙個條件:

$f$在$x_0$處偏導數連續

2012.10.16更新1:

注1:實際上,上面的證明還是稍顯麻煩了.可以更簡單,不用到矩陣.$f'(x_0)(v_1,\cdots,v_n)^t=f'(x_0)(v_1,\cdots,0)^t+\cdots+f'(x_0)(0,\cdots,v_n)^t$.再使用《陶哲軒實分析》引理17.3.5 即可.

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