我的目標是證明這個命題:設$e$是$\mathbf^n$的子集，$f:e\to\mathbf^m$是函式，$f$是$e$的子集合，且$x_0$是$f$的內點，如果在$f$上一切偏導數$\frac$都存在，且在$x_0$處連續，則$f$在$x_0$處可微.
下面，我先給出第一階段的成果.我還會寫第三篇博文，來徹底完成這個命題的證明.
證明:由於$f$上一切偏導數存在，且在$x_0$處連續，所以對於任意給定的正實數$\varepsilon$,都存在相應的正實數$\delta$,使得當$||x'-x_0||< \delta$(這裡為什麼用小於號，而不是用等號，是有緣由的.見\ref)時，就有$\forall 1\leq j\leq n$,
\begin\label
||\lim_\frac-\lim_\frac||\leq\varepsilon
\end
設向量$v=(v_1,\cdots,v_n)=v_1e_1+\cdots+v_ne_n$.則
\begin\label
\lim_\frac=\lim_\frac
\end
易知，存在正實數$l$,當$t0}\frac^[f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_ie_i)-f(x'+tv_1e_1+\cdots+tv_e_)]+[f(x'+tv_1e_1)-f(x')]}
\end
進一步化解\ref:
\begin
\label
\lim_\frac+\cdots+\lim_\frace_)}
\end
根據\ref,當$v_k\neq 0$時，
\begin
\label
|| \lim_\frace_)}}-\lim_\frac||\leq \varepsilon
\end
即\begin\label
|| \lim_\frace_)}-v_k\lim_\frac||\leq |v_k|\varepsilon
\end
當$v_k=0$時，
\begin
\lim_\frace_)}=0
\end
而且\begin
v_k\lim_\frac=0
\end
因此照樣有\ref成立.可見，
$$\begin||(\lim_\frac+\cdots+\lim_\frace_)})-(v_1\lim_\frac+\cdots+v_n\lim_\frac)||\leq (|v_1|+\cdots+|v_n|)\varepsilon\end$$
即\begin\lim_ \mathbf}f(x')=v_1\lim_\frac+\cdots+v_\lim_\frac)\end
而且，由\ref易得，
\begin\begin\mathbf}f(x_0)=v_1\lim_\frac+\cdots+v_\lim_\frac\end\end
陶哲軒實分析定理17 3 8 一
設 e 是 mathbf n 的子集，f e to mathbf m 是函式，f 是 e 的子集合，並且 x 0 是 f 的內點，如果在 f 上一切偏導數都存在並且在 x 0 處連續，那麼 f 在 x 0 處可微，而且線性變換由下式確定 begin label f x 0 v 1,cdots,v n...
陶哲軒實分析定理17 3 8 一
設 e 是 mathbf n 的子集，f e to mathbf m 是函式，f 是 e 的子集合，並且 x 0 是 f 的內點，如果在 f 上一切偏導數都存在並且在 x 0 處連續，那麼 f 在 x 0 處可微，而且線性變換由下式確定 begin label f x 0 v 1,cdots,v n...
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...