二項式定理好難啊...學了好久 \(qwq\)
這篇部落格寫的有點雜，主要講證明，僅供娛樂？
\[(x+1)^n=\sum_^ c(n,i) ~ x^i
\]這個式子為什麼是對的呢？
我們考慮將左邊的式子寫成完全角式：
\[(x+1)(x+1)···(x+1)
\]那麼我們發現其實可以每次從這 \(n\) 個 \((x+1)\) 中選出乙個 \(x\) 或者乙個 \(1\) ，然後將 n 個選出來的數字相乘累加進 \(ans\)
那麼我們考慮從 \(n\) 個 $$(x+1)$$ 中選出 \(i\) 個 \(x\) 的情況有多少種呢
這其實就是組合數中的 \(c(n,i)\)，於是乎我們發現原來的式子是正確的
我們考慮從 \(n\) 個物品中選出選出 \(t\) 個物品，那麼有多少種選擇的方案呢？
既然是二項式定理的應用，那麼怎麼才能將二項式定理套進去呢？
先別多想，我們考慮用 \((x^0+x^1)\) 表示某樣物品選或者不選（這裡 \(0\) 次項就是不選，而 \(1\) 次項則是選），這兩者相互獨立
那麼我們可以根據所有物品兩兩獨立將它們的選擇方案乘起來，就是 \((x^0+x^1)^n\)
考慮為什麼可以這麼乘？不用想那麼多感性理解即可，不理解的話看到下面也能懂的
那麼我們考慮一下之前的問題：選出 \(t\) 個物品
那麼這裡我們將 \(n\) 個 \((x^0+x^1)\) 相乘之後 \(x^t\) 的係數其實就是方案數了，因為在這裡 \(x^t\) 只可能來自 \(t\) 個不同的 \((x^0+x^1)\)中的 \(x^1\)， 也就是說它的含義就是我們在 \(n\) 個\((x^0+x^1)\)中選擇 \(t\) 個 \(x^1\) 然後每次選出一種方案就令 \(x^t\) 前的係數加一
然後我們把 \(x^0\) 等價成 \(1\)，也就是二項式定理的常見形式了
我們定義組合數 \(c(n,m)\) 為 \(\frac\) ，這樣定義對於下面的證明更有幫助
然後我們再考慮將原式的 求和函式的 終止條件換一下：
\[(x+1)^n=\sum_^ c(n,i) x^i
\]這時候我們可以知道這個式子和之前是等價的，因為 \(i\) 大於 \(n\) 的時候 \(c(n,i)\) 是等於 \(0\) 的
至於為什麼要這樣表示看到下面你就知道了
然後我們考慮一下 \((x+1)\) 的指數推廣到負數的情況
這個時候其實也有：
\[(x+1)^=\sum_^ c(-n,i) ~ x^i=\sum_^ (-1)^i~c(n+i-1,i)~x^i
\]這時候你可能會非常的驚訝... 組合數還能有負的？！
遺憾的告訴你（什麼鬼），組合數可以有負的，因為這裡的組合數使按之前小插曲裡面的定義來的
那麼我們考慮怎樣轉移到最右邊的式子：
\[c(-n,m)=\frac
\]然後我們吧上面的式子裡面所有項取反，也就是將他們的符號提取出來，就成了：
\[c(-n,m)=(-1)^\frac
\]\[= (-1)^\frac
\]\[= (-1)^ c(n+m-1,m)
\]就是這樣（或許你已經看到過上面的式子了）
把上面的式子再寫一遍就是： \((x+1)^=\sum_^(-1)^i c_^i~x^i\)
（在這裡我們略去 n 為負數的情況）
首先的話，我們考慮將上面式子中的 \(x\) 取負，那麼原式就變成了：
\[(-x+1)^n=\sum_^ (-1)^i~ c(n,i)~x^i
\]這樣寫不好看，換種寫法
\[(1-x)^n=\sum_^ (-1)^i~ c(n,i)~x^i
\]這個式子...（相信大家可能看到過的吧）
這裡的話後面的式子其實就是把 \(x\) 的負號提了出來，沒什麼特別的
但是你有沒有感覺這個式子有點眼熟？
沒錯啊，這和 指數為負的二項式定理 中長得有點像的，組合數前面都帶著個正負號
於是我們考慮一下吧這裡的 n 也取負呢？
那麼原式就變成了：
\[(1-x)^ =\sum_^ c(n+i-1,i)~x^i
\]也就是說兩個正負號抵消掉了...\(qwq\)
這個式子其實是非常有用的，它會在你學生成函式的時候派上大用場
（至於生成函式嘛，登博主學完之後還有時間的話可能就會寫篇部落格介紹一下）
其實上面講了這麼多都是二項式定理的特殊形式（但其實都是比較常見+實用的）
於是下面說說它的一般形式：
\[(x+y)^n=\sum_^ c(n,i) a^i·b^
\]這個東西可以理解為有 n 堆物品，每堆裡面有 x 和 y ，每堆只能選乙個，要求選擇的所有方案之和
具體證明就毋須多言了，上面已經證了一大堆了
其實廣義二項式定理就是上面的那個式子，我們只要將指數 n 的定義域改成實數就好了
也就是說，廣義二項式定理對於實數也成立，也就是：
\[(x+y)^α=\sum_^ c(α,i) a^i·b^
\]而關於 \(c(α,i)\) 的值通過小插曲中組合數的定義代就好了
我們看到上面的二項式定理中都出現了組合數，那麼他們兩者之間有什麼內在聯絡呢？或者說我們可以通過二項式定理得出組合數的一些性質麼？
答案當然是肯定的啦！
我們考慮吧二項式定理的公式中的 \(x\)
\(y\) 都變成 \(1\)，那麼我們會發現下面這個式子：
\[(1+1)^n=\sum_^ c_^
\]這能說明什麼呢？很明顯啊！
我們考慮前面其實就是 2 的 n 次冪，後面就是 n 個物品裡面選出 1~n 個的方案數之和，那麼由二項式定理可以得知他們兩者是相等的
從另乙個角度出發， n 個物品裡面任意選擇的方案數等於 \(\sum_^nc_^i\)，同時也等於 \(2^n\)
前面的式子不需要多解釋，考慮後面的式子就是每個物品有選或者不選兩個選擇，那麼總方案數等於所有物品選擇的方案數的乘積，這樣一來兩者的相等關係也就非常明顯了
那麼我們再考慮一下楊輝三角，楊輝三角的第 i 行 第 j 列對應著 \(c_i^j\)
上面的相等關係也就說明了楊輝三角的第 i 行所有數之和等於 \(2^i\)
我們再考慮把 x 變成 1， y 變成 0，這兩者會產生什麼樣的反應呢？我們看下面的式子：
\[(1-1)^n=\sum_^ (-1)^i~c_^
\]（注意，不要認為等式左邊恆等於 0 ！ 我們預設 \(x^0\) 為 1 ，對於任意實數！ 同時這裡也可以倒過來證明 0 的 0 次冪為 1，算是吧？）
那麼我們發現除去 \(n = 0\) 的情況，\(c_n^i\) 的偶數項之和減去\(c_n^i\) 的奇數項之和等於 0 ！
換句話說，\(c_n^i\) 的偶數項之和等於\(c_n^i\) 的奇數項之和！
這裡不知道如何解釋了，只能說對於 n 為奇數的情況考慮組合數的對稱性（即 \(c_n^i=c_n^\)）
然後對於 n 為偶數的情況考慮 掐頭去尾，每個偶數項都對應上一行的兩個相鄰元素之和，不相交並且取遍了上一行的所有元素，而奇數項同理，於是兩者相等
那麼這裡上一張圖你肯定就懂了(自己感受一下)
考慮一下楊輝三角，也就是說楊輝三角每一行的偶數列對應的項之和等於 **奇數列對應的項之和 **(由上圖也可以看出來)
但是別忘了考慮特殊情況，我們剛剛說過 \(n=0\) 除外
但其實考慮 n=0 的情況也簡單，就是當 \(n=0\) 時組合數只有一項且為 1 ，然後我們把原來的式子倒過來表達：
\[\sum_^ (-1)^i~c_^=[n==0]=\epsilon(n)
\]其實 \(\epsilon\) 就是單位元函式
二項式定理很有趣，但是看著上面的內容貌似沒什麼用，但等你學到深處就會發現經常會看到它的身影，到那時別忘了再翻開這篇部落格，或許你會有新的收穫~
bye~bye~
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