最清楚的01揹包問題講解

題目：

01揹包問題描述：有編號分別為a,b,c,d,e的n=5件物品，它們的重量w分別是2,2,6,5,4，它們的價值v分別是6,3,5,4,6，每件物品數量只有乙個，現在給你個承重為m=10的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和sum_v？

在dp(dynamic programming，動態規劃)問題中，01揹包問題是比較基礎和簡單的了，但是網上很多人的講解要麼長長一大段，長篇公式理論，要麼就是知識把狀態轉移方程列了出來，而沒有說明為什麼方程是這麼寫的，下面我力圖將01揹包問題中最簡單最核心的概念和思路講一下：

1.此01揹包問題本質上是窮舉揹包容量和可供選擇的物品(意思是裡面的物品可能會放進揹包，可能不會放進揹包)，取得最優解，只不過在窮舉的過程中，會根據狀態轉移方程，只計算可能獲得的最優解的部分，不去計算不是最優解的部分。具體來看，解題思路是把該問題分解為乙個乙個的小問題，一步步的通過小問題的最優解，最終得到大問題的最優解，跟我們人腦解題的思路是一樣的。比如第乙個小問題是「當我的揹包承重m=1，只有編號為a的物品可供選擇時，最優解是什麼」，然後下乙個小問題是建立在前乙個小問題的基礎上「當我的揹包承重m=1，有編號為a,b的物品可供選擇時，最優解是什麼」，以此類推。

2.為什麼能列出狀態轉移方程？是因為每個狀態的最優解，都是根據之前的狀態的最優解獲得的。具體到揹包問題，有以下幾點：

a) 當物品備選情況（物品備選情況指：可供選擇的物品的集合）一致時，揹包容量m越大，那麼sum_v一定大於等於原來的值。

b) 揹包容量m確定時，可供選擇的物品n越多，那麼sum_v一定大於等於原來的值。

c)由a)和b)可得，sum_v的最大值就是當m和n取到最大值時的sum_v

c) 從思路上說，01揹包問題有兩個維度：揹包容量m，和供選擇物品數n。程式設計的本質是實現人類解決現實問題的思路。仔細想想，如果不借助計算機，你該如何解決這個問題？答案是，例如考慮m=1時，先考慮a能否放入揹包，取得最大值，再考慮a和b能否放入揹包（a和b都是備選，最終放入揹包的可能是a，可能是b，也可能是ab），這時因此與之前只考慮a的情況相比，多了乙個b，所以：

用數學的方式描述上段話：sum_v[i][j]表示將前i件物品列為備選，揹包容量為j時，能獲得的最大價值；w[i]表示第i件物品的重量，v[i]表示第i件物品的價值

#此時揹包容量 m=1
if 1 >=w[2]:
sum_v[2][1] = max(sum_v[1][j-w[2]] + v[2], sum_v[1][1])
else
: sum_v[2][1] = sum_v[1][1]

推廣到任意情況，即得到我們的狀態轉移方程：

if j >=w[i]:
sum_v[i][j] = max(sum_v[i-1][j-w[i]] + v[i], sum_v[i-1][j])
else
: sum_v[i][j] = sum_v[i-1][j]

sum_v的最大值就是sum_v[i][j]的最後乙個元素

如何讀圖：例如填充紅色格仔這裡，指在容量m=3，將a,b,c,d 這4件物品考慮在內時，可以取得的最大價值。

3. 計算時進行簡單的資料結構改造。因為當i=1時，即計算開始階段，還要考慮到如果第1件物品放不進去的情況，此時沒有物品在揹包中，因此重量和價值都是0.因此需要在表示物品重量和價值的列表前加乙個資料0。

另外，當沒有物品在揹包中時，價值為0.所以需要sum_v[i][j]初始值全部設為0.

下面是詳細**：

#
!/usr/bin/env python3
#-*- coding:utf-8 -*-
import
copy
class
zopack(object):
def__init__
(self,n,m,w,v):
self.num =n
self.capacity =m
self.weight_list = [0,] +w
self.value_list = [0,] +v
self.sum_value_metrix = self.__createmetrix__(self.num+1,self.capacity+1,0)
def__createmetrix__
(self,x,y,init_value):
d2_list =
for i in
range(x):
d1_list =
for j in
range(y):
return
d2_list
defdp(self):
sum_v =self.sum_value_metrix
num =self.num
capacity =self.capacity
w =self.weight_list
v =self.value_list
for i in range(1,num+1):
for j in range(1,capacity+1):
if j >=w[i]:
#print("i,j:%s,%s" % (i,j))
sum_v[i][j] = max(sum_v[i-1][j-w[i]] + v[i], sum_v[i-1][j])
else
: sum_v[i][j] = sum_v[i-1][j]
print("
the max value we can get is: 
", sum_v[-1][-1])
print
(sum_v)
if__name__ == "
__main__":
num = 5capacity = 10weight_list = [2, 2, 6, 5, 4]
value_list = [6, 3, 5, 4, 6]
q =zopack(num,capacity,weight_list,value_list)
q.dp()

最清楚的01揹包問題講解

最通俗易懂的01揹包問題講解

動態規劃之01揹包問題（最易理解的講解）

揹包問題 01揹包問題

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