注意這裡講的是斯特林數而非斯特林公式。
斯特林數分兩類：第一類斯特林數 和 第二類斯特林數。 分別記為
。首先描述第二類斯特林數
。描述為：將乙個有n件物品的集合劃分成k個非空子集的方法數。
比如集合有以下劃分：
u u u u u u u.
7個這樣的劃分。
記為
。那麼有一下第二類斯特林數交給你計算。
根據定義，易得答案分別為：0,1,n,0.
之後考慮乙個這樣的式子
把乙個集合劃分為兩個子集。
思路：把最後乙個元素拿出來。
這時有兩種可能。1：最後乙個元素自成乙個集合。2：最後乙個元素和前面的集合中乙個子集為乙個元素。
。這種思想不只是用在k = 2的時候。擴充套件到全部的k上。
原理不講。一方面是為了自己將來看的時候能夠自己思考。另一外方面其實和
推導的方法差不多。
**資料確實重要。有時候stiring number 說不定是藏在題目中 你發現不了的。而你可以通過打表大膽猜測。
1 7 6 1
1 15 25 10 1
1 31 90 65 15 1
值得記住。
再是描述第一類斯特林數
意義：輪換。即n個元素能夠分成k個輪換。
輪換：即新的輪換不能通過舊的輪換進行陣列移位得到。
[a,b,c,d] = [b,c,d,a] = [c,d,a,b] = [d,a,b,c].
上述都是表示同乙個輪換。
而[a,b,c] 和 [a,c,b] 是兩個不同的輪換。
比如n = 4. k=2時。
有11個輪換：
[1,2,3][4] [1,2,4][3] [1,3,4][2] [2,3,4][1]
[1,3,2][4] [1,4,2][3] [1,4,3][2] [2,4,3][1]
[1,2][3,4] [1,3][2,4] [1,4][2,3]
記為另外對於n>0
這個式子易得。 n個元素全排列。對於一種排列有另外n-1種可以通過陣列移位得到。所以歸為1種。
即n!/n = (n-1)!.
另外還有以下性質。
注意是兩類斯特林數的關係。
同樣地，第一類斯特林數也有遞推式。
重點是那個(n-1)的理解。
舉個例子。
[1,2,3] 中新增 4 構成[1,2,3,4]
[2,3,1] 中新增 4 構成[2,3,1,4]
[3,1,2] 中新增 4 構成[3,1,2,4]
而前面的輪換都是屬於乙個輪換。而構成了3個不同的輪換。所以一定不像第二類斯特林數一樣是k.
而這種情況可以發現。前面集合中的每個數都出現一次在集合的第乙個位置。所以是n-1個。
list:
2 3 1
6 11 6 1
24 50 35 10 1
值得記在腦中。
另外對於輪換。我們可以和排列對應起來。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 8 4 7 2 9 1 5 6
1->3 3->4 4->7 7->1 為乙個輪換 [1,3,4,7]
2->8 8->5 5->2 為乙個輪換 [2,8,5]
6->9 9->6 為乙個輪換 [6,9]
對於任意乙個排列總是有乙個輪換是對應的。由此我們可以列出。
另外在具體數學的後面有乙個這樣聯絡第一類和第二類斯特林數的式子
當然中間在具體數學裡還有很多精彩美妙絕倫的證明以及推導。還有公式。具體就不列出來了。
just an introduction.
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