對使用倒序的一維陣列解決0/1揹包問題的理解
大略的題目：
n個物品的價值，從這些物品中選出一些(可能全選)並裝入容積為v的揹包，求揹包中的物品的最大價值。
輸入： v，n， 接下來第一行是各個物品的體積v，第二行是各個物品的價值w。
輸出： 揹包能裝入的物品的最大價值。
要想理解這個問題，可以使用**來說明、使用二維陣列的解法來做對比。
測試資料：
9 3
5 3 4
3 5 4
首先看二維陣列**（已經明白了就跳過）:
view code
1 # include 2 # include接著看這種解法的dp表3 # define max(a, b) a>b ? a : b //
巨集替換4
5int dp[1010][1010], w[1010], v[1010]; //
dp是動態規劃的簡寫，dp[i][j]代表前i個元素裝進容量為j的揹包的最優解67
intmain () else
27if (j == 0) continue;//
列印dp**
28 printf("
%5d", dp[i][j]);//
列印dp**29}
30 putchar(10);//
列印dp**31}
32 printf("
%d\n
", dp[n][v]);//
輸出前n個物品裝入容積為v的揹包的最優解33}
3435
return0;
36 }
再看一維陣列寫法:
(為了和二維陣列的**比較，我做了盡量少的改變)
view code
1 # include 2 # include接著看這種解法的dp表:3 # define max(a, b) a>b ? a : b //
巨集替換4
5int dp[1010], w[1010], v[1010]; //
dp是動態規劃的簡寫，當迴圈到第i次時，dp[j]代表前i個元素裝進容量為j的揹包的最優解67
intmain () else
28if (j == 0) continue;//
列印dp**
29 printf("
%5d", dp[j]);//
列印dp**30}
31 putchar(10);//
列印dp**32}
33 printf("
%d\n
", dp[v]);//
輸出前n個物品裝入容積為v的揹包的最優解34}
3536
return0;
37 }
可以發現，這兩種寫法導致了dp表左右相反。
二維dp寫法的狀態轉移公式表明當前的dp值需要用dp表上面乙個數值和左上的數值來確定。
那麼一維dp寫法是怎麼實現狀態的轉換的呢？根據狀態轉換公式dp[j]可能等於dp[j](迴圈到i時的dp[j]和迴圈到i-1時的dp[j]是不同的！ )即上面乙個數值，
也可能等於dp[j-v[i]],即右上的數值。（這點比較難想到，原先我以為和二維的一樣是由左上和上面的值推出來的）
為什麼一維陣列寫法不能用順序呢？我們看一下順序dp表：
比較一下二維寫法的dp表可以發現第2行、第三行的第6列之後的數值不對了，為什麼呢？
以第二行第六列為例，此時i = 2， j = 6。dp[6] = max(dp[6], dp[6-v[2]]+w[2]) --①
也即dp[6] = max(3, dp[6-3]+5) --②
也即dp[6] = max(3, 5+5)
所以dp[6] = 10。
①式中的max中的dp[6]是指i=1時的dp[6]，而max外的dp[6]是指i=2時的dp[6]。
②式中的dp[6-3]，即dp[3]，是指i=2時的dp[3]，而不是i=1時的dp[3]，原因是遍歷到i=2，j=6時dp[3]已經被更新為i=2層的dp[3],
但是狀態轉移方程要求max中的dp是上一層的，而不是當前層的，所以從此開始dp表的值開始出錯。
再返回來看一維dp的倒序寫法，由於先更新下標比較大的dp陣列元素，此時通過狀態轉移方程求最大值的時候還未更新下標較小的dp陣列元素，
即下標較小的dp陣列元素還是上一層的值，因此倒序的方法可以使用！
至此，我們就能夠全部理解為什麼能用一維陣列來解決0/1揹包問題了。
本文結束。
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