這次是多項式復合逆和拉格朗日反演以及擴充套件拉格朗日反演。
對於已知的兩個常數項為0的多項式函式\(f(x),p(x)\)，若滿足：
\[f(p(x))=p(f(x))=x
\]那麼稱多項式\(f(x),p(x)\)互為復合逆。
對於滿足\(f(g(x))=g(f(x))=x\)的兩個多項式求，\(g(x)\)的第\(n\)項。
\[g(x)=\sum\limits_a_ix^i
\]那麼：
\[\begin
g(f(x))&=\sum\limits_a_if^i(x)=x\\
\sum\limits_ia_if^(x)f'(x)&=1\\
\sum\limits_ia_if^(x)f'(x)&=\frac\\
\end\]
對於復合函式的求導和積分來說有：
\[(f^a(x))'=af^(x)f'(x)
\]\[\int f^a(x)f'(x)=\frac(x)}
\]那接著化式子。
\[\begin
na_n\frac+\sum\limits_\fraca_i(f^(x))'&=\frac\\
[x^](na_n\frac)&=[x^]\frac\\
\end
\]然後你發現：
對於任意的多項式函式\(f(x)\)
都有：$$[x^]\frac=1$$
那麼也就是說：
\[a_n=\frac[x^]\frac=\frac[x^]\left(\frac\right)^n
\]擴充套件拉格朗日定理也類似。
這裡不推了。
給出結論：
對於滿足\(f(g(x))=g(f(x))=h(x)\)的兩個多項式求，\(g(x)\)的第\(n\)項。
\[a_n=\frac[x^]h'(x)\left(\frac\right)^n
\]
總結 多項式生成函式例題 1
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