組合數學 組合數問題（四類彙總）

給定n

'>n

組詢問，每組詢問給定兩個整數a，b

'>a，b

，請你輸出

n'>a，b

'>n

'>a，b

'>cab

mod(109

+7)'>的值。

n'>a，b

'>cab

mod(109

+7)'>1≤n

≤10000

'>1≤n≤10000,1

≤b≤a

≤2000

'>1≤b≤a≤2000

'>a，b

'>cab

mod(109

+7)'>1≤n

≤10000

'>1≤b

≤a≤2000

n

'>a，b

'>cab

mod(109

+7)'>1≤n

≤10000

'>1≤b

≤a≤2000

'>問題特點：資料組數較多，a,b的範圍較小，且要求對乙個定值取模。

解決方法：楊輝三角

因為a,b範圍非常小，直接利用楊輝三角打表即可。

**實現：

#include #include 

#include 
using
namespace
std;
const
int n = 2010, mod = 1e9+7
;int
s[n][n];
void
start()
intmain()
return0;
}

給定n

'>n組詢問，每組詢問給定兩個整數a，b

'>a，b，請你輸出ca

b mo

d (10

9+7)

'>的值。

n'>a，b

'>cab

mod(109

+7)'>1≤n

≤10000

'>

1≤n≤10000,1≤

b≤a≤

105'>1≤b≤a≤105

然後將階乘與階乘的逆元分別打表即可。

遞推式：

① n! = (n-1)! * n

② n!-1 = (n-1)!-1 * np-2

②的證明：

(n-1)!-1 = (n-1)!p-2

(n-1)!p-2 * np-2 = n!p-2

#include #include 

using
namespace
std;
typedef 
long
long
ll;const
int n = 100000+10, mod = 1e9 + 7
;int
jc[n],ny[n];
int qmi(int a,int k,int
p) 
return
res;
}void
start()
}int
main()
return0;
}

給定n

'>n組詢問，每組詢問給定三個整數a,b

,p'>a,b,p

，其中p

'>p是質數，請你輸出的值n

'>a,b

,p'>p

'>1≤n

≤20'>1≤n≤20,1

≤b≤a

≤1018'>1≤b≤a≤1018,1

≤p≤10

5'>1≤p≤105

若p是質數，則對於任意整數1≤m≤n，有：

利用lucas定理將目標組合數遞迴分解，直到m和n小於p為止。

然後對於每個分解出來的m和n的範圍均在p以內的組合數，就可以放心地根據組合數的定義直接求解。

當然，對於每一步計算過程，都需要對p取模，遇到除法的利用快速冪轉化成乘法逆元即可。

**實現：

#include #include 

#include 
#include 
using
namespace
std;
typedef 
long
long
ll;int p; //
用的次數比較多的變數，一般設定的變數名比較短，且一般設成全域性變數
int qmi(int a,int
k) a=(ll)a * a %p;
k>>=1
; }
return
res;
}int c(int a,int
b) 
return
res;
}int
lucas(ll a,ll b)
}int
main()
return0;
}

輸入a,b

'>a,b

，求的值。注意結果可能很大，需要使用高精度計算。

1≤b≤a≤5000

根據組合數的定義，可得：

在迴圈過程中一邊乘一邊除即可，這樣便只需要寫兩個函式：高精度乘低精度，高精度除以低精度。

**實現：

#include #include 

#include 
#include 
using
namespace
std;
struct
largeint;
largeint lar_mult(largeint a,
intb)
if(a.num[a.len+1]>0)a.len++;
while(a.num[a.len]>9
) 
while(a.num[a.len]==0&&a.len>1)a.len--;
returna;}
largeint lar_div(largeint a,
intb)
while(a.num[a.len]==0&&a.len>1)a.len--;
returna;}
void
print(largeint n)
intmain()
print(res);
return0;
}

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