中國剩餘定理

目錄q：中國剩餘定理很難嗎？

a：就是個求解同餘方程組的東東

(話說 \(oi\) 只要能理解應用就好吧，證明是不是可以先放一放)因為我太菜了

update 2021/04/11：終於理解中國剩餘定理，還是tcl

《孫子算經》中有這麼一道題：

「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」

寫成數學語言，就是求解同餘方程組

\[\begin

& x \equiv 2 \pmod 3 \\

& x \equiv 3 \pmod 5 \\

& x \equiv 5 \pmod 7 \\

\end

\]乍一看，這不很簡單蠻，隨便帶近兩個數試試不就行了

但是你現在可以直接觀察並且資料小，如果資料大了呢，同餘方程組不只是三個呢？

這就需要我們的「中國剩餘定理」登場了

設正整數 \(m_1, m_2, m_3, ···,m_k\) 兩兩互素，則同餘方程組

\[\begin

& x \equiv a_1 \pmod \\

& x \equiv a_2 \pmod \\

& x \equiv a_3 \pmod \\

& ··· \\

& x \equiv a_k \pmod

\end

\]

有整數解。並且在模 \(m = m_1 \times m_2 \times ··· \times m_k\) 下解是唯一的，解為

\[x \equiv (a_1 m_1 m_1^ + a_2 m_2 m_2^ + ··· + a_k m_k m_k^) mod \ \ m

\]其中 \(m_i = m / m_i\) ， 而 \(m_i^\) 為 \(m_i\) 模 \(m_i\) 的逆元

普通中國剩餘定理要求所有的 \(m_i\) 互素，那麼如果不互素呢？怎麼求解同餘方程組？

這種情況可以考慮兩兩合併，假設合併如下兩個方程：

\[x = a_1 + m_1 x_1

\]\[x = a_2 + m_2 x_2

\]那麼得到：

\[a_1 + m_1 x_1 = a_2 + m_2 x_2 \rightarrow m_1 x_1 + m_2 x_2 = a_2 -

a_1\]

我們需要求出乙個最小的 \(x\) 使它滿足：

\[x = a_1 + m_1 x_1 = a_2 + m_2 x_2

\]那麼 \(x_1\) 和 \(x_2\) 的值要僅可能的小，於是我們又擴充套件歐幾里得演算法求出 \(x_1\) 的最小整數解，將它代回 \(a_1 + m_1 x_1\) ，得到 \(x\) 的乙個特解 \(x^\) ，當然也是最小整數解。

所以 \(x\) 的通解一定是 \(x^\) 加上 \(lcm(m_1,m_2) \times k\) 這樣才能保證 \(x\) 模 \(m_1\) 和 \(m_2\) 的餘數是 \(a_1\) 和 \(a_2\) 。由此，我們把這個 \(x^\) 當做新的方程的餘數，把 \(lcm(m_1,m_2) \times k\) 當做新的方程的模數。（這一段是關鍵）

合併完成：

\[x \equiv x^ \pmod

\]複雜度***，碼量短小精湛！

詳見這篇博文

想學中國剩餘定理很久了，第一次聽說是在夏令營的時候，看到同宿舍某大佬的課程表上有這個名詞，感覺挺高大上的，前幾天忙著期中考咕咕咕了，如今終於有機會更一篇關於它的筆記了，開心》-

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