先吐槽一下，學習這玩意兒的時候真的是深深的明白了自己的弱小，人家的乙個"解得"我居然解了兩個小時。。qwq
斐波那契數列：
\[f_i = f_ + f_
\]\[f_0 = f_1 = 1
\]普通生成函式:
簡單來說用多項式\(\sum_^ a_ix^i\)的係數表示序列的元素
同時因為我們不關心\(x\)的取值，因此\(\sum_^a_ix^i\)又稱作以\(x\)為自由元的形式冪級數
常見的有:
\(\frac = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^\)
證明:將\(x\)替換為\(xk\)得後半部分可以直接由通項公式得到\(s_n = \frac}\)，當\(x \in (-1, 1)\)，那麼\(\lim_ x^ = 0\)
\(\frac = 1 + kx + k^2x^2 + k^3x^3 \dots + k^x^\)
設\(a = 1 + 1x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 \dots\)
根據遞推式，我們可以這樣變化，顯然有
\[\begin
a = \ 1 + 1x + &2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 \dots \\
xa = \ \ \qquad x + &1x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5\dots \\
x^2a =\qquad \qquad &1x^2 + 1x^3 + 2x^4 + 3x^5 \dots
\end
\]那麼可以得到乙個方程\(a - xa - x^2a = 1\)
整理一下\(a =\frac\)
這樣我們就得到了斐波那契數列的生成函式，然而並沒有什麼卵用，因為我們不能直接通過觀察看出每一項的係數。
現在考慮一下，我們接下來可以幹什麼。我們已經知道了\(\frac\)和\(\frac\)所表示的序列。接下來要幹的當然是把\(\frac\)往上面的兩個式子轉化。
\(\frac\)這玩意兒下半部分是個一元二次方程，我們可以配方
\[1-x-x^2 = (1-\phi_1x)(1-\phi_2x)
\]\[\phi_1 = \frac}, \phi_2 = \frac}
\](解的時候可以直接把後面的式子拆開，把這兩個式子對應項聯立組成方程組, \(\phi_1 \phi_2\)的取值是可以反過來的)
這個時候我們發現已經找到與\(\frac\)的聯絡了，我們可以把\(\frac\)拆成求和的形式。可以裂一下項
原式變為\(\frac + \frac\)，然後再解乙個方程\(a(1-\phi_2 x) + b(1-\phi_1x) = 1\)
解這個方程就沒那麼休閒了，這裡我們選擇把\(x\)當做主元對方程進行變換
\[(a+b - 1) - x(a\phi_2 + b\phi_1) = 0
\]這樣就好處理了，只要列個二元一次方程組
\[\begin
a-b-1 = 0\\
a\phi_2 + b\phi_1 = 0
\end
\]解一下可以得到\(a = \frac} \phi_1, b = -\frac} \phi_2\)
帶回去\[a = \frac} \frac - \frac} \frac
\]那麼第\(n\)項的公式為
\[a_n = \frac} ((\frac})^ - (\frac})^)
\]生成函式-羅煜楚(版權原因暫不公開)
特別感謝張一釗老師qwq
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