驚奇的發現選修2-3上有期望的介紹，不過我沒有課本啊qwq。只能去網上找資料了。。
這兩節我感覺比較有意思，就記一下吧
名字真高大上
超幾何分布(hypergeometric distribution)是統計學上一種離散概率分布。它描述了由有限個物件中抽出$n$個物件，成功抽出指定種類的物件的個數（不歸還 (without replacement)）。舉個例子：
$n$個物品中有$m$個是不合格的，超幾何分布描述了在這$n$個樣本中選$n$個，其中有$k$個是不合格的概率
$$p(x = k) = \frac^}$$
若隨機變數$x$服從引數為$n, m, n$的超幾何分布，則記為$$x \sim h(n, m, n)$$
$e(x) = \frac$
證明(前方高能)：
前置定理：
1. $k * c_m^k = m * c_^$
2. $\sum_^m c_m^k c_^ = c_n^n$
推導過程
\begin
e(x) &= \sum_^m k * \frac^} \\
&=\frac \sum_^m k c_m^k * c_^\\
&=\frac \sum_^m m c_^ c_^\\
&=\frac \sum_^m c_^c_^\\
&=\frac c_^ \\
&=\frac
\end
$$d(x) = )(1-\frac)(n-n) \over (n-1)}$$
在概率論和統計學中，二項分布（binomial distribution）是$n$個獨立的是/非試驗中成功的次數的離散概率分布，其中每次試驗的成功概率為$p$。這樣的單次成功/失敗試驗又稱為伯努利試驗。實際上，當$n = 1$時，二項分布就是伯努利分布。
一般地，如果隨機變數$x$服從引數$n$和$p$的二項分布，我們記$x \sim b(n, p)$或$x \sim b(n, p)$.$n$次試驗中正好得到$k$次成功的概率為
$f(x;n,p) = p(x = k) c_n^k \ p^k \ (1-p)^$
$e(x) = np$
證明這不是很顯然的麼qwq。
$n$次試驗均為獨立的，每次試驗的成功率為$p$
根據期望的線性性$e(x) = e(x_1) + e(x_2) + \dots e(x_n) = np$
如果你想找刺激的話可以繼續往下看
$$p(x=k) = p^kq^, k = 0,1,2,..,n,q = 1-p\\$$
\begin
ex &= \sum_^n k p^kq^ \\
&= \sum_^n k p^kq^ \\
&= \sum_^n k }p^kq^ \\
&= np\sum_^n }p^q^ \\
&= np\sum_^np^q^\\
&= np[p^0q^+p^1q^+...+p^q^0] \\
&= np
\end
最後一步可以由二項式定理推得
$$d(x) = np(1 - p)$$
維基百科—超幾何分布
維基百科—二項分布
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